分块矩阵求逆

分块矩阵求逆

分块矩阵求逆法，把大型矩阵变成小型矩阵，可以提高计算效率。

1、准对角矩阵 $A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 的逆，可以待定系数法求，设逆矩阵为 $A^{-1}= \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right]$ ，则
$\left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right]$

计算

$\left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} XA_{11} & YA_{22} \\ ZA_{11} & WA_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right]$

令对应元素相等，得

$XA_{11} = E_n \quad YA_{22} = \mathbf{O} \\ ZA_{11} = \mathbf{O} \quad WA_{22} = E_m$

由于矩阵 $A_{11} , A_{22}$ ，可得 $X=A^{-1}_{11},Y=\mathbf{O},Z=\mathbf{O},W=A^{-1}_{22}$ ，所以 $A^{-1}= \left[ \begin{matrix} A^{-1}_{11} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & A^{-1}_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 。

2、准下角矩阵 $A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 的逆，可以待定系数法求，设逆矩阵为 $A^{-1}= \left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right]$ ，则
$\left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & 0 \\ 0 & E_m \\ \end{matrix} \right]$

计算

$\left[ \begin{matrix} X & Y \\ Z & W \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A_{11} & \mathbf{O} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} XA_{11}+YA_{21} & YA_{22} \\ ZA_{11}+WA_{21} & WA_{22} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E_n & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & E_m \\ \end{matrix} \right]$

令对应元素相等，得

$XA_{11}+YA_{21} = E_n \quad YA_{22} = \mathbf{O} \\ ZA_{11}+WA_{21} = \mathbf{O} \quad WA_{22} = E_m$

由于矩阵 $A_{11} , A_{22}$ ，可得 $X=A^{-1}_{11},Y=\mathbf{O},Z=-A^{-1}_{22}A_{21}A^{-1}_{11},W=A^{-1}_{22}$ ，所以 $A^{-1}=
\left[ \begin{matrix}
A^{-1}{11} & \mathbf{O} \
-A^{{-1}_{22}A_{21}A}{-1}{11} & A^{-1}_{22} \
\end{matrix} \right] $ 。

3、准上角矩阵 $A= \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ \mathbf{O} & A_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 的逆 $A^{-1}= \left[ \begin{matrix} A^{-1}_{11} & -A^{-1}_{11}A_{12}A^{-1}_{22} \\ \mathbf{O} & A^{-1}_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 。

上面三个例子显示，如果子矩阵是 $\mathbf{O}$ 矩阵，逆矩阵对应的子矩阵也是 $\mathbf{O}$ 矩阵，这些位置的元素不需要计算，直接是 $0$ ，在实际计算逆矩阵时，可以提高效率。
分块矩阵计算逆矩阵，如3阶准上角矩阵， $A= \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right]$ ，4个子矩阵分别为 $A_{11} = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right], A_{12} = \left[ \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ \end{matrix} \right], A_{21} = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} \right], A_{22} = \left[ \begin{matrix} 7 \end{matrix} \right]$ 。根据2阶逆矩阵公式，得 $A^{-1}_{11} = \left[ \begin{matrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{matrix} \right] / (-2)$ ， $A^{-1}_{22} = \left[ \begin{matrix} 1/7 \end{matrix} \right]$ ， $-A^{-1}_{11}A_{12}A^{-1}_{22}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]/7$ , 所以逆矩阵为 $A^{-1}= \left[ \begin{matrix} -2 & 3/2 & 1/7 \\ 1 & -1/2 & -2/7 \\ 0 & 0 & 1/7 \end{matrix} \right]$ 。 读者可以验证 $AA^{-1}=E, A^{-1}A=E$ 。比直接计算3阶矩阵的逆要快很多。