我们都知道，要对非齐次方程求解，首先得对矩阵进行初等行变化，化成阶梯型矩阵，得到变量与值的关系求解。
而初等行变化，相当于左乘一个初等矩阵（单位矩阵进行相应的行变换）。
那么，问题来了。为什么对其进行行变换就相当于左乘初等阵呢？ 我们只是从书上看到这个结论，但并不太清楚为什么会是这样的，接下来的举例或许对你有所启发.
现在先让我们回顾下，首先，矩阵相乘，两个矩阵必须满足：左列数=右行数。齐次，得到的矩阵的行，列=左行，右列。
好了，以上这个例子中的矩阵非常完美的满足这两个条件，所以可以做矩阵乘法的运算。
这里我特地中间多加了一步，为了是更好的看清楚，这相当于P这个矩阵的每行乘左边这个1x3的矩阵中对应的系数的和！（P1,2,3是列向量，为了数学上的统一我们所有的向量都是表示列向量）。
通过上面这个例子是不是对于行的操作有点感觉了？ 那么接下来我们在来看一个例子：
对X这个矩阵进行行变化，我们是将row2-3row1得到的。那么我们应该左乘一个什么样的矩阵呢？
由第一个例子我们可以想到，Y.row1=x.row1，第一行不变，所以P这个矩阵的第一个行向量只要X的第一行就够了，所以
P.row1我们设置为[1,0,0]，便可得到Y的第一行，也就是Y.row1=1·X.row1+0·X.row2+0·X.row3。
怎么样是不是有点感觉了，按照上面的想法，那么p的第二行应该是[-3,1,0]，第三行是[0,0,1] 。
这样这个P矩阵就背我们些出来了，也就是传说中的初等矩阵。 不信你可以做乘法试试
怎么样，这样是不是很快就可以写出进行变化的初等阵了，之后进一步初等行变化也是一样的操作。
我们知道矩阵的乘法是不能随意换位置的，比如AB!=BA，但是满足结合律，即A(BC)=(AB)C
所以我们求一个矩阵的行变换的初等阵，只需要把每步变化的初等阵做乘法运算就可以得到最终的变化矩阵了。
当然，熟练的话可以直接写出这个变化矩阵，这可比先写一个包含单位矩阵的增广矩阵，进行行变换得到的矩阵要快的多。
另外，我们知道一个矩阵的逆矩阵，其实就是对这个矩阵进行初等变化化成单位阵的操作。
即：A'A=E ，（A'表示逆矩阵）。我们也可以从中得到启发，左乘这个逆矩阵无非就是对A进行行操作化成E的这个过程。
emmmmmm 若有所思................................
好了，以上就是这节课的核心思想，对于右乘其实就是列操作就不举例了，可以自己去试一试。不知道这些对你有没有什么启发，反正我觉得比起单纯记结论，这样的思考是非常有帮助与解题的，毕竟数学思想是学好数学的核心。