【概念】
-
由 m×n 个数 aij 排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：
-
这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元。
-
数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i, j)元
-
元素是实数的矩阵称为实矩阵
-
元素是复数的矩阵称为复矩阵
-
行数与列数都等于 n 的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵
-
n 阶方阵中所有 i=j 的元素aij组成的斜线称为主对角线
-
所有 i+j=n+1 的元素aij组成的斜线称为辅对角线
【矩阵的基本运算】
1、加法
- 对于两个同型（行列数一样）矩阵A和B，加法就是把对应(i, j)元做加法运算。例如：
- 矩阵的加法运算满足结合律和交换律，即：
void MatrixPlus(double A[],double B[],int m,int n,double C[])
{
int i,j;
for(i=0;i<m*n;i++)
{
C[i]=A[i]+B[i]; //对应项相加
}
}
2、减法
- 矩阵的减法与加法运算类似。
void MatrixMinus(double A[],double B[],int m,int n,double C[])
{
int i,j;
for(i=0;i<m*n;i++)
{
C[i]=A[i]-B[i]; //对应项相减
}
}
3、数乘
-
矩阵的数乘是指一个数乘以一个矩阵，只要把这个数乘到每一个(i, j)元上。
-
矩阵的数乘运算满足结合律和分配律，即：
-
矩阵的加法、减法和数乘运算合称为矩阵的“线性"运算。
4、乘法
- 两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和第二个矩阵B的行数相等时才能定义。
- 如A是m×n矩阵、B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个mxp矩阵，它的任意一个元素值为：
并将此乘积记为：C = AB，例如：
void MatrixMul(double A[],double B[],int m,int n,int k,double C[])
{
int i,j,l,u;
for (i=0; i<m; i++)
{
for (j=0; j<k; j++)
{
u=i*k+j;
C[u]=0.0; //初值
for(l=0; l<n; l++)
{
C[u]+=A[i*n+l]*B[l*k+j]; //相乘累加
}
}
}
}
5、转置
- 把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。例如：
- 矩阵的转置运算满足以下运算律：
6、共轭
7、共轭转置
【矩阵的行列式】
例如，一个2*2矩阵的行列式可表示为：
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和。
【矩阵的特殊类别】
- 对角矩阵(Diagonal Matrix)：对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，记为diag(a11, a22,…ann)。
- 三角矩阵：三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，如下图。下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。
三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。
-
对称矩阵，对称矩阵是一个方阵，其转置矩阵和自身相等，即 A=AT，对称矩阵中关于主对角线对称的每一对元素均相等。如果 A = -AT，则称为反对称矩阵。
-
厄米特矩阵(Hermitian Matrix)：n阶复方阵A 的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身， 则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。
显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。
对于只包含实数元素的矩阵(实矩阵)，如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。
如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。 -
正交矩阵：A是一个n阶实矩阵，若ATA=E(或AAT=E)，则称A为正交矩阵。
如果A是一个正交矩阵，则 |A| = +1或-1；A可逆，且其逆A-1也是正交矩阵；AT和A*也是正交矩阵；Am(m为自然数)也是正交矩阵。 -
范德蒙矩阵(Vandermonde矩阵)：范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵。例如：
