RMQ问题-ST表倍增处理静态区间最值

简介

ST表是利用倍增思想处理RMQ问题（区间最值问题）的一种工具。 它能够做到O(nlogn)预处理，O(1)查询的时间复杂度，效率相当不错。

算法

1.预处理

ST表利用倍增的思想。以洛谷的P3865作为例子。我们需要查询某一区间的最大值。 我们用f[ i ][ j ]表示区间i到i+2^j-1的最大值（最小值同理）。在状态转移时，我们可以把这个区间拆成两个区间，分别求最大值。  因此，状态转移方程为：

f[i][j] = max{ f[i][j-1], f[i+2^(j-1)][j-1] }

2.查询

查询也比较简单。 我们先求出log2(区间长度),令其等于k。  然后，我们对左右端点分别查询（即图中的绿色线条和红色线条），保证能够覆盖我们需要查询的整个区间。

为什么从右端点开始查询，左端点为r-2^k+1？ 其实很简单，我们需要寻找一个x，使得x+2^k-1=r。所以x=r-2^k+1。

上代码：

//ST表求静态区间最大值 洛谷P3865
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn=1e6+10;
int n,m;
int Max[maxn][21];//Max[i][j]表示区间i到i+2^j-1的最大值

int read()
{
    char ch=getchar();
    int f=1;int x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

int find(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1);//计算log2(区间长度)
    return max(Max[l][k],Max[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Max[i][0]=read();
    }
    for(int j=1;j<=21;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            Max[i][j]=max(Max[i][j-1],Max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            //倍增
            //1<<(j-1)表示2^(j-1)
        }
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int l=read();
        int r=read();
        printf("%d\n",find(l,r));
    }

    return 0;
}