RMQ区间最值查询 ST表笔记

RMQ区间最值查询（Range Minimum/Maximum Query）

一般使用倍增思想或线段树 来实现。

用于解决长序列中最值多次查询的情况。RMQ算法一般用O（NlogN）的时间来处理数列，然后每次查询只需O（1）的时间。

这里使用大名鼎鼎的$ST表$来实现，给定长度为N的数列A，ST表可以在O（NlogN）时间预处理后以O（1）的时间复杂度来回答任意区间内的最值。

预处理环节

设 $F[i,j]$ 表示在数列A从第 $i$ 个数起连续 $2^j$ 个数 $(i,i+2^j-1)$ 中的最大值。

递推边界（起始值）是 $F[i,0]=A[i]$ ，即数列A在区间 $[i,i]$ 的最大值。

递推时把子区间的长度倍增，即长度为 $2^j$ 的子区间最大值为左右两半长度 $2^{j-1}$的子区间的最大值中较大的一个。
即 $F[i,j]=MAX(F[i,j-1],F[i+2^{j-1},j-1])$。

这就是个dp！

举例：

$数组A(下标1-N)=｛1_1，3_2，5_3，3_4，2_5，6_6，4_7，7_8，5_9，9_{10}，7_{11}｝$
$F[1,0]=A[2^0]=1，按上面的递推式：$
$F[1,1]=MAX(1,3)=3$
$F[1,2]=MAX(1,3,5,3)=5$
$F[1,3]=MAX(1,3,5,3,2,6,4,7)=7$
$\dots \dots$
我们把 $F[i.j]$ 平均分为两段（因为区间内一共有偶数个数字），
从 $i$ 到 $i+2^{j-1}-1$ 为一段，$i+2^{j-1}$ 到 $i+2^{j-1}$ 为另一段。
长度均为 $2^{j-1}$ 。当 $i=1,j=3$ 时就是 $1,3,5,3$ 和 $2,6,4,7$ 这两段。
$F[i,j]$ 保存的就是这两段中最大值的最大值。
即 $F[i,j]=MAX(F[i,j-1],F[i+2^{j-1},j-1])$。

代码：

void RMQ(int x){
    
    //预处理
	for(int j=1;j<10;j++)//j的范围根据题目设置
		for(int i=1;i<=x;i++)
			if(i+(1<<j)-1<=x){
    
    
				maxx[i][j]=max(maxx[i][j-1],maxx[i+(1<<(j-1))][j-1]);
				minn[i][j]=min(minn[i][j-1],minn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
			}
}

查询环节

假设我们需要查询的区间为 $[i,j]$ ，那么需要找到覆盖的闭区间(左闭右闭)。
可以有重叠部分，求最值时重叠不影响结果。
因为这个区间长度为 $j-i+1$ ，
所以可以取 $k=lo{g}_2(j-i+1)$ ，
则有 $F[i,j]=MAX(F[i,k],F[j-2^k+1,k])$ 。

举例：

求区间 $[2,8]$ 的最大值，
$k=lo{g}_2(8-2+1)=2$ ，
$MAX(F[2,2],F[8-2^2+1,2])$
$=MAX(F[2,2],F[8-2^2+1,2])$
$=MAX(F[2,2],F[5,2])$

代码：

#include<cmath>//记得log是cmath库里的函数
int query(int l,int r){
    
    //查询
	int k=log(r-l+1)/log(2);//换底公式把自然对数loge换成log2
	return max(F[l][k],F[r-(1<<k)+1][k]);
}

做道例题试一试：模板ST表

code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int F[2000001][31];//2e6是2的21次方，开到31就可以覆盖int了
void RMQ(int x) {
    
     //预处理
	for (int j = 1; j < 31; j++) //j的范围根据题目设置
		for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= x; i++)
			F[i][j] = max(F[i][j - 1], F[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
int query(int l, int r) {
    
     //查询
	int k = log(r - l + 1) / log(2); //换底公式把自然对数loge换成log2
	return max(F[l][k], F[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int n, m;
int main() {
    
    
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &F[i][0]);
	RMQ(n);
	for(int i=1,l,r;i<=m;i++){
    
    
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%d\n",query(l,r));
	}
}