RMQ问题解法之ST倍增

前言：

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)：对于长度为n的数组A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n-1)，返回数组A中下标在i,j范围内的最小（大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

ST算法

ST算法是一种更加高效的算法，在O(nlogn)的预处理代价，以O(1)的时间复杂度离线回答“数列A中下标在left~right”之间的数的最大值是多少?"这样的区间最值问题。（离线：也就是先处理所有的数据后在回答人家的问题）

采用的是动态规划的思想。要求区间[l,r]的最值，我们将其区间细分成两个长度相近的小区间[l,k],[k,r],然后合并。

• dp[i][j]表示区间 [ i,i+2^j-1]的最值， 该区间长度为$2^j$,代表从第i个数起连续2^j个数中的最大值。
• dp[i][j]可以由dp[i][j-1] 和 dp[i+$2^{j-1}$] [j-1]导出，而后两者的区间长度是2^(j-1)
• 为了求dp[i,j]，我们把f[i，j]平均分成两段（因为dp[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+$2^{j-1}$ - 1 为一段，i+$2^{j-1}$到i+$2^j$-1为一段(长度都为$2^{j-1}$),显然dp[i , j] = max/min（f[i , j-1]，f[ i + $2^{j-1}$, j-1]）。

重点：

（来自算法竞赛进阶指南）

倍增的思想就体现在预处理dp[ ][ ]数组，也就是dp[ ][ ]的含义，需要好好体会，下面我们通过例题加深印象。

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例题：

代码:

思路：典型的模板踢，思路在上面一样。

# include <iostream>
# include <cmath>
# include <queue>
# include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 50010;
int a[N];
int st_max[50010][17];  //这里的17是基于题目中ｎ的个数来定义的
int st_min[50010][17];
int n,m;
int lg[N];


void st_max_work(){

    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=16;++j){
            st_max[i][j] = 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) st_max[i][0] = a[i];
    int t = (int)(log(n)/log(2))+1;
    for(int j=1;j<t;++j){
        for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;++i){
            st_max[i][j] = max(st_max[i][j-1],st_max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }

}

void st_min_work(){

    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=16;++j){
            st_min[i][j] = 999999999;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) st_min[i][0] = a[i];
    int t = (int)(log(n)/log(2))+1;
    for(int j=1;j<t;++j){
        for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;++i){
            st_min[i][j] = min(st_min[i][j-1],st_min[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }

}

int ST_query_max(int l,int r){
    int k = lg[r-l+1];
    return max(st_max[l][k],st_max[r-(1<<k)+1][k]);
}

int ST_query_min(int l,int r){
    int k =lg[r-l+1];
    return min(st_min[l][k],st_min[r-(1<<k)+1][k]);
}

//如果没有预处理好区间长度对应的k值，那么查询函数就要每次算出ｋ值，如下：
int ST_query(int x,int y){
	int k = log(y-x+1)/log(2);
	return max(dp[x][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main(void)
{
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    lg[1] = 0;
    for(int i=2;i<=n;++i){　　　　//这里是预处理出１到ｎ这ｎ种区间长度各自对应的ｋ值，以便在询问时直接使用。
        lg[i] = lg[i/2]+1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    st_max_work();
    st_min_work();
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int Max = ST_query_max(x,y);
        int Min = ST_query_min(x,y);
        printf("%d\n",Max-Min);
    }
    return 0;
}