【简概】
ST 算法在 RMQ（区间最值）中用来求得一个区间的最值，但却不能维护最值。
也就是说，过程中不能改变区间中的某个元素的值。
O(nlogn) 的预处理和 O(1) 的查询对于需要大量询问的场景是非常适用的。
比如有如下长度为 10 的数组：1 3 2 4 9 5 6 7 8 0
我们要查询 [1, 7] 之间的最大值，如果采用朴素的线性查找，复杂度O(n)，
而 ST 算法却只需要 O(1)的时间复杂度，因为 ST 算法预处理了一个 dp 数组。
我们 用 dp[i][j] 表示从 i 开始的 2^j 个数的最值，表示 dp[i][j] “管辖” index=i 开始的 2^j 个数字，
那么很显然，任何一段区间都能被两个 dp 元素管辖到。
比如上面说的 [1, 7]，就能被dp[1][2] 和 dp[4][2]管辖到，max(dp[1][2], dp[4][2])也就是[1, 7] 的最值了。
如何得出是 dp[1][2] 和 dp[4][2] 这两个元素？
让dp[1][n]（2^n <= 区间个数）中的n尽可能大就得到了第一个元素，
可以推得第二个元素，两个元素的管辖范围大小是一样的。
这样我们只需预处理一个 dp 数组就可以了，而这个预处理是一个动态规划的过程，转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);而 dp 数组的预处理和 RMQ 的求解过程正好是个逆过程。
【作用】用来求解给定区间RMQ的最值，以最小值为例。
【举例】给出一数组A[0~5] = {5,4,6,10,1,12},则区间[2,5]之间的最值为1。
【方法】ST算法分成两部分：离线预处理 （nlogn）和 在线查询（O(1)）。
虽然还可以使用线段树、树状链表等求解区间最值，但是ST算法要比它们更快，而且适用于在线查询。
（1）离线预处理：运用DP思想，用于求解区间最值，并保存到一个二维数组中。
ST算法使用DP思想求解区间最值，貌似属于区间动态规划，
不过区间在增加时，使用倍增的思想，每次增加2^i个长度。
使用F[i,j]表示以i为起点，区间长度为2^j的区间最值，此时区间为[i,i + 2^j - 1]。
比如，F[0,2]表示区间[0,3]的最小值，即等于4，F[2,2]表示区间[2,5]的最小值，即等于1。
在求解F[i,j]时，ST算法是先对长度为2^j的区间[i,i + 2^j - 1]分成两等份，每份长度均为2^(j - 1)。
之后在分别求解这两个区间的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。
最后在结合这两个区间的最值，求出整个区间的最值。
特殊情况，当j = 0时，区间长度等于0，即区间中只有一个元素，此时F[i,0]应等于每一个元素的值。
举例：要求解F[1,2]的值，即求解区间[1,4] = {4,6,10,1}的最小值。此时需要把这个区间分成两个等长的区间，
即为[1,2]和[3,4]，之后分别求解这两个区间的最小值。此时这两个区间最小值分别对应着F[1,1] 和 F[3,1]的值。
状态转移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
初始状态为：F[i,0] = A[i]。
在根据状态转移方程递推时，是对每一元素，先求区间长度为1的区间最值，
之后再求区间长度为2的区间最值，之后再求区间长度为4的区间最值....，
最后，对每一个元素，在求解区间长度为log2^n的区间最值后，算法结束，其中n表示元素个数。
即：先求F[0][1]，F[1][1]，F[2][1]，F[3][1]，F[n][1]，再求F[0][2]，F[1][2]，F[2][2]，F[3][2]，F[m][2] 。
（2）在线处理：已知待查询的区间[x,y]，求解其最值。
在预处理期间，每一个状态对应的区间长度都为2^i。
由于给出的待查询区间长度不一定恰好为2^i，因此我们应对待查询的区间进行处理。
这里我们把待查询的区间分成两个小区间，这两个小区间满足两个条件：
（1）这两个小区间要能覆盖整个区间
（2）为了利用预处理的结果，要求小区间长度相等且都为2^i。注意两个小区间可能重叠。
如：待查询的区间为[3,11]，先尽量等分两个区间，则先设置为[3,7]和[8,11]。
之后再扩大这两个区间，让其长度都等于为2^i。刚划分的两个区间长度分别为5和4，
之后继续增加区间长度，直到其成为2^i。此时满足两个条件的最小区间长度为8,此时i = 3。
在程序计算求解区间长度时，并没有那么麻烦，我们可以直接得到i，
即等于直接对区间长度取以2为底的对数。这里，对于区间[3,11]，
其分解的区间长度为int（log(11 - 3 + 1)） = 3，这里log是以2为底的。
根据上述思想，可以把待查询区间[x，y]分成两个小区间[x，x + 2^i - 1] 和 [y - 2^i + 1，y] ，
其又分别对应着F[x,i]和F[y - 2^i + 1,i]，此时为了求解整个区间的最小值，
我们只需求这两个值得最小值即可，此时复杂度是O(1)。
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
/*方程
F[i,j]:区间[i,i + 2^j - 1]的最小值，此时区间长度为2^j
F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
F[i,0] = nArr[i];*/
int F[1000000][20];//待比较元素的个数最大为1百万
void SparseTable(int nArr[],int nLen) {
//初始化
for (int i = 0;i < nLen;i++)
{
F[i][0] = nArr[i];
}
//递推
int nLog = int(log(double(nLen))/log(2.0));
for (int j = 1;j <= nLog;j++)
{
for (int i = 0;i < nLen;i++)
{
if ((i + (1 << j) - 1) < nLen)//区间的端点不能超过数组最后一位的下标
{
F[i][j] = min(F[i][j - 1],F[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
}
}
}
int RMQ(int nArr[],int nLen,int nStart,int nEnd)
{
int nLog = (int)(log(double(nEnd - nStart + 1)/log(2.0)));
return min(F[nStart][nLog],F[nEnd - (1 << nLog) + 1][nLog]);
}
int main()
{
int nArr[6] = {5,4,6,10,1,12};
SparseTable(nArr,6);
cout<<RMQ(nArr,6,0,5)<<endl;
cout<<RMQ(nArr,6,1,3)<<endl;
cout<<RMQ(nArr,6,2,5)<<endl;
cout<<RMQ(nArr,6,2,2)<<endl;
system("pause");
return 1;
}