概率论基础（一）：条件均值与全期望公式

【条件均值与全期望公式】
  假定两个连续的随机变量 $X,Y$，它们的联合概率密度为
$p_{\rm X,Y}(x,y)=p_{\rm X}(x)p_{\rm Y|X}(y|x)=p_{\rm Y}(y)p_{\rm X|Y}(x|y)$则有条件均值 ${\mathbb E}[X|Y=y]={\mathbb E}[X|y]$为
${\mathbb E}[X|y]=\int_{-\infty}^{\infty}xp_{\rm X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{p_{\rm X,Y}(x,y)}{p_{\rm Y}(y)}dx.$进一步我们来推导全期望数学公式
${\mathbb E}_{\rm Y}\{{\mathbb E}_{\rm X|Y}[X|Y]\}={\mathbb E}_{\rm X}[x].$证明如下：
${\mathbb E}_{\rm Y}\{{\mathbb E}_{\rm X|Y}[X|Y]\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{{\mathbb E}_{\rm X|Y}[X|y]\}p_{\rm Y}(y)dy$ $=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}xp_{\rm X|Y}(x|y)dx]p_{\rm Y}(y)dy$ $=\int_{-\infty}^{\infty}x\int_{-\infty}^{\infty}p_{\rm X|Y}(x|y)p_{\rm Y}(y)dydx$ $=\int_{-\infty}^{\infty}x[\int_{-\infty}^{\infty}p_{\rm X,Y}(x,y)dy]dx$ $=\int_{-\infty}^{\infty}xp_{\rm X}(x)dx={\mathbb E}_{\rm X}(x)$