【概率论】几何概率、条件概率及全概率公式作业

填空题

1. 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求第一次取出的零件是一等品的概率_____(结果小数点后保留1位)
   【正确答案:0.5 或1/2】
   解析：
   设A₁，A₂分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B₁，B₃分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”，所求概率为$P(B_1)=P(A_1)P(B_1|A_1)+P(A_2)P(B_1|A_2)=\frac{1}{2}\times \frac{20}{50}+\frac{1}{2}\times \frac{18}{30}=0.5;$

2. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是______(结果用小数表示，小数点后保留5位)；
   【正确答案:0.87934或1013/1152】
   解析：
   设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x和y小时，
   有Ω={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}, 得 m(Ω)=24²=576，
   事件A=“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，
   若甲先到, 有x+1≤y≤24;若乙先到,有y+2≤x≤24;
   即A={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24,x+1≤y≤24或y+2≤x≤24},
   得$m(A)=\frac{1}{2}\times 23^2+\frac{1}{2}\times 22^2=\frac{1013}{2}$,
   故所求概率为$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}=\frac{1013}{1152}$

3. 设一批产品中一、二、三等品各占60%,35%,5%. 从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率_______(结果用小数表示，要求小数点后保留5位)
   【正确答案:12/19 或0.63158】
   解析：
   设A,B,C分别表示“取出一、二、三等品”,有$P(A)=0.6,P(B)=0.35,P(C)=0.05$,故所求概率为
   $P(A|\overline{C})=\frac{P(A\overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{P(A)}{1-P(C)}=\frac{0.6}{1-0.05}=\frac{12}{19}$

4. 已知 P(A)=1/3, P(B|A)=1/4, P(A|B)=1/6, 求P(A∪B)=_____(结果小数点后保留2位)
   【正确答案: 3/4或0.75】
   解析：
   因$P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12},P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=\frac{1/12}{1/6}=\frac{1}{2},故P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$

5. 已知$P(\bar{A})=0.3,P(B)=0.4,P(A\bar{B})=0.5$,求$P(B|A\cup \overline{B})$
   =_____(结果小数点后保留2位)
   【正确答案:0.25 或1/4】
   解析：
   因$P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=1-P(\overline{A})-P(A\overline{B})=1-0.3-0.5=0.2,且P(A\cup \overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-P(A\overline{B})=1-P(\overline{A})+1-P(B)-P(A\overline{B})=1-0.3+1-0.4-0.5=0.8,故P(B|A\cup \overline{B})=\frac{P(B(A\cup \overline{B}))}{P(A\cup \overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(A\cup \overline{B})}=\frac{0.2}{0.8}=0.25$

6. 设A,B为两事件, P(A)=P(B)=1/3, P(A|B)=1/6,求$P(\overline{A}|\overline{B})$=_____(结果小数点后保留3位)
   【正确答案:0.583或7/12】
   解析:
   因$P(AB)=P(B)P(A|B)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{18},有P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{18}=\frac{11}{18},则P(\overline{AB})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-\frac{11}{18}=\frac{7}{18},且P(\overline{B})=1-P(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},故P(\overline{A}|\overline{B})=\frac{P(\overline{AB})}{P(\overline{B})}=\frac{7/18}{2/3}=\frac{7}{12}$

7. 一盘晶体管有 8 只合格品，2只不合格品，从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率_____(结果保留小数点后1位)
   【正确答案:0.8或4/5或8/10】
   解析:
   设A₁，A₂分别表示 “第一次取出的是合格品、不合格品”，B表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为$P(B)-P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=\frac{8}{10}\times \frac{7}{9}+\frac{2}{10}\times \frac{8}{9}-\frac{72}{90}=0.8$

8. 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率______;(结果小数点后保留2位)
   【正确答案:0.51或51/100】
   解析：
   设A₁，A₂，A₃分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上”，B表示 “找到钥匙”，故所求概率为 P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)=0.5×0.8+0.3×0.3+0.2×0.1=0.51

9. 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.
   求任取一个零件是合格品的概率______; (结果小数点后保留2位)
   【正确答案:0.96 或24/25】
   解析：
   设A₁，A₂分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B表示“取出的是合格品”，
   所求概率为$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=\frac{2}{3}\times 0.97+\frac{1}{3}\times 0.94=0.96$