树的性质和概念

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树的性质和概念

树简介

• 树是一种非线性结构，
• 树是n(n $\geq$ 0)个元素的集合
  • n = 0时，称为空树
  • 树只有一个特殊的没有前驱的元素，称为树的根Root
  • 树中除了根节点外，其余元素只能有一个前驱，可以有零个或多个后续
• 递归定义
  • 树T是n(n $\geq$ 0)个元素集合。n=0时，称为空树
  • 有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1、T2、T3、…、Tm,而每一个集合都是树，称为T的子树Subtree
  • 字树也有自己的根

树的概念

• 结点：树中的数据元素
• 结点的度degree: 结点拥有的子树的数目称为度，记作d(v).
  • 树的度是树内部各结点的度的最大值。D结点度最大为3，树的度数就是3
• 根据分支定义：
  • 叶子节点 ：节点的度为0，称为叶子节点leaf、终端节点、末端结点。记作d(0)
  • 分支结点：结点度不为0，称为非终端节点或分支结点
  • 分支：结点之间的关系
  • 内部结点：除根节点外的分支节点，不包括叶子节点称为内部结点
• 根据父子关系定义：
  • 孩子结点（儿子Child结点）：结点的子树的根结点成为该节点的孩子结点
  • 双亲结点(父结点):一个结点是它各子树的根结点的双亲
  • 兄弟结点：具有相同双亲结点的结点
  • 祖先结点： 从根结点到该结点，经过分支上所有的结点。如下图中A、B、D都是G的祖先结点
  • 子孙结点： 结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙结点。如下图中B的子孙结点是D、G、H、I
  • 堂兄弟：双亲在同一层的结点
  • 结点的层次(Level)：根节点为第一层，根的孩子为第二层，以此内推，记作L(v)
  • 树的深度（高度Depth）:树的层次的最大值。下图的树深度为4
• 其他定义：
  • 有序树：结点的子树是有顺序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交换
  • 无序树：结点的子树是有无序的，可以交换
  • 路径：树中的k个结点n(1)，n(2),…n(k)，满足n(i)是n(i+1)的双亲,称为n(1)到n(k)的路径。就是一条线串下来的，前一个都是后一个的父结点，也称为前驱结点。
  • 路径长度=路径上结点数-1，也是分支数
  • 森林：m(m $geq$ 0)棵不相交的树的集合。对于结点而言，其子树的集合就是森林。A结点的2棵子树的集合就是森林

树的特点

• 树只有唯一一个根，且子树不相交
• 除根以外，每个元素只能有一个前驱（父结点），可以有零个或多个后继(子结点)
• 如果vi是vj的双亲，则L(vi) = L(vj)-1,也就是说双亲比孩子节点的层次小1
• 注意： 堂兄弟的双亲，不一定是兄弟关系。因为：堂兄弟的定义是：双亲结点（父节点）是在同一层的结点。

二叉树

定义：

• 每个结点最多2棵子树的树称为二叉树。
• 二叉树是有序树，左子树，右子树是顺序的，不能交换次序
• 即使某个结点只有一棵子树

二叉树的五种基本形态

• 空二叉树
• 只有一个根结点的二叉树
• 根节点只有左子树的二叉树，又称为左斜树
• 根节点只有右子树的二叉树，又称为右斜树
• 根节点有左字树和右子树的二叉树

满二叉树

• 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子节点只存在最下面一层
• 同样深度二叉树中，满足二叉树结点最多。
• k为深度( 1 $\leq$ k $\leq$ n),则结点总数为 $2^k-1$
• 如下图，一个深度为4的15个结点的满二叉树
  

完全二叉树Complete Binary Tree

• 若二叉树的深度为k，二叉树的层次数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数，在第k层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树
• 完全二叉树由满二叉树引出
• 满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树
• k为深度(1 $\leq$ k $\leq$ n ),结点总数最大值为 $2^k-1$。当达到最大值的时候就是满二叉树
• 例如：下图1,2,3都是完全二叉树，最下一层的叶子节点都连续的集中在最左边
  • 图1：完全二叉树
    
  • 图2：完全二叉树
    
  • 图3：完全二叉树
    

二叉树的性质

• 性质一：在二叉树的第i层上至多有 $2^{i-1}$个结点（i $\geq$ 1）
• 性质二：深度为k的二叉树，至多有 $2^k-1$个结点（k $\geq$ 1）
• 性质三: 对任何一颗二叉树T，如果其终端节点（度数为0的结点)数为n0,度数为2的结点为n2,则有n0=n2+1
  • 换句话说，就是叶子节点数-1就等于度数为2的结点数
  • 证明：
    
• 性质四： 具有n个结点的完全二叉树的深度为int( $log_2n$)+1或者math.ceil( $log_2{(n+1)}$)
  • 高度为k的二叉树，至少有k个结点
  • 含有n(n $\geq$ 1)个结点的二叉树高度至多为n。最小为math.ceil( $log_2{(n+1)}$ ),不小于对数值的最小整数，向上取整。
    • 假设高度为h， $2^h-1 = n 则有 h =log_2{(n+1)}$,层次数是取整。如果是8个结点，3.1699就要向上取整为4，为4层
• 性质五：对于有序二叉树，假定i位结点编号，该二叉树的所有结点为n，如果i=1为二叉树的根结点。那么当2i>n时说明结点i无左右孩子结点。即结点i无子节点。如果2i+1>n时，说明结点i无右孩子结点。
  • 如果有一棵n个结点的完全二叉树（深度为int( $log_2n$)+1），结点按照层顺序编号，如图：
    
  • 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲（无父节点）；如果i>1,则其双亲是int(i/2),向下取整。就是子节点的编号整除2得到的就是父结点的编号。父结点如果是i,那么左孩子节点就是2i,右孩子结点就是2i+1.
  • 如果2i>n,则结点i无左孩子，即结点i为叶子结点；否则其左孩子结点存在编号为2i.
  • 如果2i+1>n，则结点i无右孩子，（注意这里并不能说明结点i没有左孩子）