二叉树的性质和存储结构

一、二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点（i>=1）,第i层上至少有1个结点
2. 深度为k的二叉树至多有2^k -1 个结点（k>=1）,深度为k时至少有k个结点
3. 对任何一颗二叉树T,如果其叶子结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0=n2+1.

证明：设n1为度为1的结点数，则总结点数为n = n0+n1+n2.
来看该二叉树的分支数：除了根结点外，其余结点都有一个分支进入，设B为分支总数，从下往上看，B = n-1，从上往下看，B=n1+2*n2. 合并后,n = n1+2 * n2+1,又n=n0+n1+n2,所以n0=n2+1.,此分析过程是关键，尽力掌握。
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在了解性质4和性质5(都是完全二叉树的重要特征)之前，我们先来了解一下满二叉树和完全二叉树，这两种二叉树它们在顺序存储方式下可以复原。
满二叉树 一颗深度为k且有2^k - 1个结点得二叉树称为满二叉树。 特点是：每层结点数都是最大结点数（每层都满），叶子结点全在最底层

完全二叉树 深度为k,有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1~n的结点一一对应时，称之为完全二叉树.
其特点是：
a)叶子结点只可能在层次最大的两层出现.
b)对任意结点，如果其右子树的最大层次为i,则其左子树的最大层次必为i或i+1.

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为反之表示不小于x的最小整数。
5. 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层

序编号，则对任一结点i(i>=1&&i<=n),有：
，该性质应用于顺序存储时便于找到i结点的双亲和后代。

二、二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储(数组)

实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。
二叉树的顺序存储表示

#define MAXTSIZE 100		//二叉树最大结点数
typedef TElemType SqBiTree[MAXTSIZE]//0号单元存储根结点
SqBiTree bt;

但顺序存储只适用于完全二叉树或满二叉树，因为在深度为k只有k个结点的最坏情况下，却需要长度为2^k -
1的一维数组，会造成存储空间的极大浪费，所以对于一般二叉树，更适合链式存储结构

二叉树的链式存储

二叉链表存储结构表示

typedef struct BiNode{
	TElemType data;
	struct BiNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiNode,*BiTree;	//*BiTree是指向下一节点的一个指针，BiNode是普通结点类型；

在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域
分析：n个结点肯定有2n个指针域（链域），除根结点外，每个结点有且仅有一个双亲，所以只会有n-1个结点的指针域存方指针，也就是说存放指针的指针域数目为n-1，共有2n个结点，所以空指针域数目=2n - (n-1)=n+1个

三叉链表存储结构表示（有三个指针域）

为了便于找到结点的双亲，增加一个只想双亲的指针域，称为三叉链表

typedef struct TriNode{
	TelemType data;
	struct TriTNode *lchild,*parent,*rchild;
}TriTNode,*TriTree;