“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：

时钟的计量范围是0～11，模=12。表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

如对于一个8bit的数的计量器，其模为2^8,由于模在计量器上表示不出来，那么a + b = a + b + n * 2^8（n是整数)

再介绍补码的概念：补码来源于以下思想——如果一个正整数为A，那么其对应的负整数可以用-A来表示，可以用 -A = 0 - A来得到，由于0需要借位，在计算机的二进制表示中(假设数长度w bit) -A用 2^w - A表示，称为补码，上述表达式只有一个‘2’，因此称为two‘s complement区别于ones’ complement，反码来源于对原码取反，其结果相当于用[1111...11] - A,所以称为ones' complement(注意两种表示的 ‘s和s‘)。

所以，计算机中的整数采用补码表示，主要原因是

相比于ones‘ complement有+0和-0这种编码，补码中的0只有一个。
补码可以直接进行运算, 计算机中的数都是计数范围有限的计量系统(假设模2^w)，因此X-Y 可以根据模的性质转换成X -Y+2^w = X + (2^w - Y)，即整数的减法可以转换成加上Y的补码，而补码本身又可以通过取反加一实现，简化了电路设计。一个减法过程的示意：

补码的数学表达式也是理解补码的一种方式：最高位的权重是-2^(w - 1)

2.1.2 有符号数和无符号数的转化关系

记住下面两个公式就行了

2.1.3 数的扩展

在不同的字长的整数之间进行转换，分为以下两种:

zero extension(零扩展)，如将无符号数转换为更大的数据类型，补0
sign extension(符号扩展),将一个补码数字转换为更大的数据类型，扩展符号

TIPS：一个负数前面的1都可以忽略，因此0xfffffffc，可以看做4-bit 1100(c),即 -8 + 4 = -4

2.2 整数的运算

2.2.1 无符号加法

2.2.1 补码加法

三、数的特性对C编程的影响

3.1 无符号数和有符号数

3.1.1 数

C中的数值默认是有符号的，如果指定是无符号的需要使用U后缀

3.1.1 cast

分为显示转换和隐式转换。

注意隐式转换带来的特殊之处：对同时包含有符号和无符号的表达式，会将有符号的数转换成无符号的数处理，尤其当涉及<和>这样的关系表达式，要十分小心。

-1 < 0U   //0xFFFFFFFF <　0U

0U - 1 // 0xFFFFFFFF

4U - 5U // 0xFFFFFFFF

TIPS: 在CSAPP中有如下问题

#define INT_MAX   2147483647
#define INT_MIN   (-INT_MAX - 1)

这里INT_MIN不定义成-2147483648或者0x80000000的原因是-2147483648是一个表达式，其中2147483648超出的int上限，于是将该数解释成了long int类型(按照int/long int/long long int 匹配数字大小)，再取-就达不到目的了。因此用(-INT_MAX - 1)实现。

3.1.2 extension

数进行扩展时，一定是先改变大小,再做有符号/无符号的变化，写代码时最好避免隐式转换，如short ->unsigned,实际的转化过程unsigned = (unsigned)(int)short。

3.1.3 shift

逻辑右移(补0)和算数右移(补符号)，C中无符号数的右移是逻辑的，有符号的数是算数右移。如果移位很大，会对数的位数w取模。

3.1.4 overflow

溢出检测程序：

//无符号溢出条件检测证明：
令s = x + y
0 <= x, y < 2^w
当没有产生溢出时，s - x = y >=0, 即 s >= x
当产生溢出时, s - x = x + y - 2^w - x = y - 2^w < 0, 即 s < x
这里x，y的位置可以互换。

int uadd_ok(unsigned int x, unsigned int y) {
    unsigned int s = x + y;
    return s >= x;
}

补码溢出的检测条件
正溢出：x >= 0, y >= 0, 但 x + y < 0
负溢出: x < 0, y < 0, 但 x + y >= 0

int tadd_ok(int x, int y) {
    int z = x + y;

    return !(x >= 0 && y >= 0 && z < 0) && !(x < 0 && y < 0 && z >= 0)
}

3.1.5 C中的余数

C的余数和被除数符号保持一致，如果要余数永远是正值，使用

((n % M) + M) % M

四、参考

【1】关于2的补码

【2】深入理解计算机系统第三版

编程基础(一)——计算机中的数

一、综述

二、整数

2.1 整数的表示

2.1.1 ones' complement & two's complement