区间DP值入门题目——石子归并

这两天特别丧，不想学习，心态有点崩。不知道为什么，可能是假期综合症吧，又感觉自己处在了一种极度的迷茫之中，都怪袁老，让我自己一天吃饱了没事干，胡思乱想，呜呜呜.jpg。

区间DP

区间DP就是在区间上的动态规划，求解一段区间上的最优解，通过合并小区间的最优解来得到整个大区间上的最优解的算法。

时间复杂度一般为O（n^2）或者O（n^3），一般做法就是：

确定状态，例如初始化等操作。
枚举区间长度，枚举区间起始点，有的题目还需要枚举区间断点，从小区间到大区间，合并小区间来得到整个大区间上的最优解。
dp[1][n]一般就是所求的解。

石子合并问题

很多人一看到石子合并问题可能会想到博弈论，但是博弈论上的一般是先手问题。而石子合并合并的一般是合并相邻两堆石子的数量。石子合并问题有两种玩法。操场玩法和路边玩法，操场玩法就是指把石子围成一堆，路边玩法就是把石子摆成一条直线。

贪心法不能解决，贪心法要求无后效性，但是条件为必须合并相邻两堆这个条件，贪心法无法保证每次都能取到所有堆中石子数最少的两堆。如6 3 4 6 5 4 2贪心法的最小值是62，但是实际上最小值为61，很明显贪心算出来的并不是最小值，贪心法在子过程中得到的解只是局部最优，而不能保证全局的值最优，因此本问题不可以使用贪心法求解。如果使用暴力穷举的办法，会有大量的子问题重复，这种做法会造成效率的低下，所以我们可以考虑动态规划法，是否具有最优子结构性质。

（1）分析最优解的结构特征。

假设已经知道了第k堆石子分开可以得到最优解，那么原问题就变成了两个子问题，子问题分别是{ai,a2,……,ak}和{ak+1,aj}原问题的最优解是否包含子问题的最优解呢？

假设已经知道了n堆石子合并起来的花费是c，子问题1{ai,a2,……,ak}和{ak+1,……,aj}石子合并起来的花费是b，{a1,a2,……,aj}石子数量之和是w(i,j)那么c=a+b+w(i,j).因此我们只需要证明c是最优的，则a和b一定是最优的（即原问题的最优解包含子问题的最优解）。证明用反证法来证。

（2）建立最优值递归式。

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设dp[i][j]代表从第i堆到第j堆石子合并的最小花费，dp[i][k]代表从第i堆石子到第k堆石子合并的最小花费，dp[k+1][j]代表从第k+1堆石子到第j堆石子合并的最小花费。w(i,j)代表从第i堆到第j堆的石子数量之和。

dp[i][j]=0 i=j // min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w(i,j) i<j （应该是大括号表示，但是不会用）

题目

石子归并

51Nod - 1021

N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

Input

第1行：N（2 <= N <= 100)

第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

输出最小合并代价

Sample Input

Sample Output

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=1<<30;
const int maxn=40001;
int Min[201][201];
//int Max[maxn][maxn];
int sum[maxn];
int a[maxn];
int main()
{
  int n;
  while(cin>>n&&n!=0)
  {
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      Min[i][i]=0;
    //  Max[i][i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      cin>>a[i];
      sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    //c=a+b+w(i,j);w(i,j)代表价值和
    for(int v=2;v<=n;v++)
    {
      for(int i=1;i<=n-v+1;i++)
      {
        int j=i+v-1;
        Min[i][j]=INF;
        //Max[i][j]=-1;
        int tmp=sum[j]-sum[i-1];
        for(int k=i;k<j;k++)
        {
          Min[i][j]=min(Min[i][j],Min[i][k]+Min[k+1][j]+tmp);
        //  Max[i][j]=max(Max[i][j],Max[i][k]+Max[k+1][j]+tmp);
        }
      }
    }
    cout<<Min[1][n]<<endl;
    //cout<<Max[1][n]<<endl;
  }
  return 0;
}

这就是区间dp石子问题的常规解法，如果石子长度不长的话一般直接用dp来做，复杂度为O（n ^ 3）, 但是这种方法时间复杂度并不低，在对时间有明显要求的时候这种方法不适合使用，这时候就要用到了一中新算法，叫(GarsiaWachs算法) 能把复杂度降到O（n ^ 2）甚至O（nlogn）;
它的步骤如下：

设序列是stone[]，从左往右，找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找最大的j，使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1]，插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的。

举个例子：

假设石子的序列为100，45， 67， 200， 78；那么第一次找的时候找到了67，因为200 > 45, 然后合并为 112，往前遍历，插到第一个比它大的值后面即stone[-1]，然后变成了112， 100， 200， 78, 继续操作，然后合并112， 100为 212，序列变为212 200 78，记得stone[n]为无穷哦，然后合并200， 78为278，变为278， 212，最后在合并为490

所以结果为112 + 212 + 278 + 490 = 1092。这种算法我还不是很会，呜呜呜，等我学会了再说。

圆型石子合并经常转换为直线型来求，也就是说，把圆形结构看成是长度为原规模两倍的直线结构来处理。如果操场玩法（直线玩法）原问题规模为n,所以就相当于有一排石子a1,a2,……，an-1.该问题规模为2*n-1,然后就可以用线性的石子合并问题来解决。

区间DP值入门题目——石子归并

石子归并

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