前几天在做训练题的时候发现自己对数论基础知识的了解很浅薄，为了加深记忆，于是打算做一做整理，毕竟好记性不如烂笔头
欧几里得算法
欧几里得算法是一种用于求取最大公约数的快速算法，也就是辗转相除法，用公式表达就是gcd(a,b)=gcd(b,a%b),接下来就进行证明
假设 a>b a,b的公约数为k, a=bx+y;
则能推出 a%k==0, b%k==0,a%b==y
由此可得 bx%k==0,(a-bx)%k==0
所以说y%k==0 即 ·a%b%k==0
同理 (b,a%b)的公约数也等于k
即可推得公式
代码实现
int gcd(int a,int b)
{
if(a<b) return gcd(b,a);
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法可以用来求二元一次方程的通解，还可以用来求乘法逆元
根据贝祖定理
即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
那么对二元一次方程 ax+by=m 来说，m是gcd(a,b)的倍数，那么就可以通过递归的方法实现，当b==0时，a=gcd(a,b),但此时的a对应的解不是原来的x,y，因此要从最后到最初来寻找，
根据欧几里得算法，我们可以推出
ax+by=gcd(a,b)=bx1+(a%b)y1
因为a%b==a-floor(a/b)*b
所以可以推出bx1+(a%b)y1=bx1+(a-floor(a/b)*b)y1
整理得到 ay1 + b(x1 – a/b*y1)
最后得到 x=y1 ,y=x1 – a/b*y1
代码实现
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int t=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int temp=y;
y=x-(a/b)*y;
x=temp;
return t;
}
注意
x,y并不是其方程所有解
设 a1=a/gcd(a,b); b1=b/gcd(a,b);
则 a1*x+b1*y=1;
此时x=x+n*b,y=y+n*a为其通解
中国剩余定理
在写中国剩余定理之前，要先知道两个定理
定理1：两个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
例题
问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
具体步骤
1.求最小公倍数
lcm=3 * 5 * 7=105;
2.求各个数的基础数
1）105÷3=35
35÷3=11…2 //基础数35
（2）105÷5=21
21÷5=4…1
定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21 * 3=63//基础数63
3、105÷7=15
15÷7=2…1
定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15 * 2=30//基础数30
3.把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）
35+63+30=128
4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）
x=128-105=23
那么满足题意得最小的数就是23了
具体原因见
中国剩余定理(孙子定理)详解
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
#define N 105
using namespace std;
int a[N],b[N],n;
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int t=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int temp=y;
y=x-(a/b)*y;
x=temp;
return t;
}
int china()
{
int ans=0;
int lcm=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lcm*=a[i];//两两互质，直接乘了
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp;
temp=lcm/a[i];
int x,y,g;
g=ex_gcd(temp,a[i],x,y);
x=(x%a[i]+a[i])%a[i];//因为扩展欧几里得求出的解可能有很多组，且可能为负，我们这步求出了一个比a[i]小且大于0的解。
ans=(ans+x*temp*b[i])%lcm;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);//ans%a[i]=b[i].
}
int ans=china();
printf("%d\n",ans);
}