一、动态规划
1.动态规划的本质：是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。
1.1动态规划过程：每次决策依赖于当前状态。又随即引起状态的转移。
一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这样的多阶段最优化决策解决这个问题的过程就称为动态规划。
2.动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推的（分治）的方式去解决。
如何拆分问题，是动态规划的核心。
2.1什么是状态的定义？
给定一个数列，长度为N，
求这个数列的最长上升（递增）子数列（LIS）的长度.
以
1 7 2 8 3 4
为例。
这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为4；
次长的长度为3， 包括 1 7 8; 1 2 3 等.要解决这个问题，我们首先要定义这个问题和这个问题的子问题。
重新定义这个问题：
给定一个数列，长度为N，
设Fk:以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度。
求F1...FN中的最大值。这个问题与原问题等价。
对于FK来说，F1,F2…都是它的子问题，因为以第k项结尾的最长递增子序列（下称LIS），包含着以第1..k-1中某项结尾的LIS。
上述的新问题Fk也可以叫做状态，定义中的“Fk为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。
之所以把Fk做“状态”而不是“问题” ，一是因为避免跟原问题中“问题”混淆，二是因为这个新问题是数学化定义的。
2.2 什么是状态转移方程？
上述状态定义好之后，状态和状态之间的关系式，就叫做状态转移方程。比如，对于LIS问题，定义：
设FK为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.
设A为题中数列，状态转移方程为：
F1=1（根据状态定义导出边界情况）
Fk=max(Fi+1|Ak>Ai)(k>1)用文字解释一下是：以第k项结尾的LIS的长度是：保证第i项比第k项小的情况下，以第i项结尾的LIS长度加一的最大值，取遍i的所有值（i小于k）。
动态规划求解问题的一般步骤：
（1）描述最优解的结构
（2）递归定义最优解的值
（3）按自底向上的方式计算最优解的值
（4）由计算出的结果构造一个最优解
二、合唱团问题
问题描述：
有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？
输入描述:
每个输入包含 1 个测试用例。每个测试数据的第一行包含一个整数 n (1 <= n <= 50)，表示学生的个数，接下来的一行，包含 n 个整数，按顺序表示每个学生的能力值 ai（-50 <= ai <= 50）。接下来的一行包含两个整数，k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。
输出描述:
输出一行表示最大的乘积。
示例1
输入
3
7 4 7
2 50输出
49Java实现问题求解
package com.cn.test1;
import java.util.Scanner;
/**
* 合唱团问题
* 题目描述：有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，
* 要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？
* @author hackerlee
* 1. 题目分析
*题目要求n各学生中选择k个，使这k个学生的能力值乘积最大。这是一个最优化的问题。另外，在优化过程中，提出了相邻两个学生的位置编号差不超过d的约束。
*
*如果不用递归或者动态规划，问题很难入手，并且，限制条件d也需要对每一个进行约束，编程十分复杂所以，解决的方法是采用动态规划（理由：1.求解的是最优化问题；2.可以分解为最优子结构）
*2. 问题分解
*
*1.对该问题的分解是关键。从n个学生中，选择k个，可以看成是：先从n个学生里选择最后1个，然后在剩下的里选择k-1个，并且让这1个和前k-1个满足约束条件
*
*2.数学描述
*
* 为了能够编程实现，需要归纳出其递推公式，而在写递推公式之前，首先又需要对其进行数学描述
*
*记第k个人的位置为one,则可以用f[one][k]表示从n个人中选择k个的方案。然后，它的子问题，需要从one前面的left个人里面，
*选择k-1个，这里left表示k-1个人中最后一个（即第k-1个）人的位置，因此，子问题可以表示成f[left][k-1].
*
* 学生能力数组记为arr[n+1],第i个学生的能力值为arr[i]
* one表示最后一个人，其取值范围为[1,n];
* left表示第k-1个人所处的位置，需要和第k个人的位置差不超过d，因此
* max{k-1,one-d}<=left<=one-1
*
*在n和k定了之后，需要求解出n个学生选择k个能力值乘积的最大值。因为能力值有正有负，所以
*
* 当one对应的学生能力值为正时，
* f[one][k] = max{f[left][k-1]arr[i]}(min{k-1,one-d}<=left<=one-1);
* 当one对应的学生能力值为负时
* f[one][k] = max{g[left][k-1]arr[i]}(min{k-1,one-d}<=left<=one-1);
* 此处g[][]是存储n个选k个能力值乘积的最小值数组
*
*/
public class Choir {
public static void main(String[] args){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(sc.hasNext()) {
//总人数
int n = sc.nextInt();
//学生能力值数组，第i个人直接对应arr[i]
int[] arr = new int[n + 1];
//初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) {//人直接对应坐标
arr[i] = sc.nextInt();
}
//选择的学生数
int kk = sc.nextInt();
//间距
int dd = sc.nextInt();
/**
* 递推的时候，以f[one][k]的形式表示
* 其中：one表示最后一个人的位置，k为包括这个人，一共有k个人
* 原问题和子问题的关系：f[one][k]=max{f[left][k-1]*arr[one],g[left][k-1]*arr[one]}
*/
//规划数组
long[][] f = new long[n + 1][kk + 1];//人直接对应坐标,n和kk都要+1
long[][] g = new long[n + 1][kk + 1];
//初始化k=1的情况
for(int one = 1;one<=n;one++){
f[one][1] = arr[one];
g[one][1] = arr[one];
}
//自底向上递推
for(int k=2;k<=kk;k++){
for(int one = k;one<=n;one++){
//求解当one和k定的时候，最大的分割点
long tempmax = Long.MIN_VALUE;
long tempmin = Long.MAX_VALUE;
for(int left = Math.max(k-1,one-dd);left<=one-1;left++){
if(tempmax<Math.max(f[left][k-1]*arr[one],g[left][k-1]*arr[one])){
tempmax=Math.max(f[left][k-1]*arr[one],g[left][k-1]*arr[one]);
}
if(tempmin>Math.min(f[left][k-1]*arr[one],g[left][k-1]*arr[one])){
tempmin=Math.min(f[left][k-1]*arr[one],g[left][k-1]*arr[one]);
}
}
f[one][k] = tempmax;
g[one][k] = tempmin;
}
}
//n选k最大的需要从最后一个最大的位置选
long result = Long.MIN_VALUE;
for(int one = kk;one<=n;one++){
if(result<f[one][kk]){
result = f[one][kk];
}
}
System.out.println(result);
}
}
}