合唱团问题

问题：有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？

输入：每个输入包含 1 个测试用例。每个测试数据的第一行包含一个整数 n (1 <= n <= 50)，表示学生的个数，接下来的一行，包含 n 个整数，按顺序表示每个学生的能力值 ai（-50 <= ai <= 50）。接下来的一行包含两个整数，k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。

解题思路：如果采用暴力解法的话，从n名学生中随机抽取k名学生有 $C_n^k$ 种取法，对于每一种取法需要计算k次乘法，所以时间复杂度为 $O(C_n^k k)$ 。这种暴力的解法不能通过，时间复杂度太高，其实做过一些题的应该一开始就能想到用动态规划的方法来做，关键是递推公式怎么写。通过二维数组dp[n][k + 1] 来保存获得的乘积，以空间换时间，减少时间复杂度，dp[i][j]表示对于每一名同学i，记录他作为选取的k名学生中的第j个所获得的最大乘积。注意到每个学生的能力值会有负值（这是有多差，竟然有负的）。所以，我们需要定义另外一个二维数组来保存最小乘积。通过分析后我们可以用dpmax[n][k + 1] 和 dpmin[n][k +] 来分别记录最大乘积和最小乘积。然后就可以很容易的得到递推公式：dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j], min(dpmax[m][j - 1]*a[i], dpmin[m][j - 1]*a[i]))，dpmax[i][j] = max(dpmax[i][j], max(dpmax[m][j - 1]*a[i], dpmin[m][j - 1]*a[i]))，这里的m是在i-1到i-d之间。代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    long ans = -50;
    cin >> n;
    vector<int> arr(n, 0);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin >> arr[i];
    }
    int k;
    int d;
    cin >> k >> d;
    //定义第i个人的作为被选取的第j个学生所得的最大和最小乘积
    vector<vector<long>> dpmax(n, vector<long>(k + 1, 0));
    vector<vector<long>> dpmin(n, vector<long>(k + 1, 1));
    for(int i = 0; i < n; i++){
        dpmax[i][1] = arr[i];
        dpmin[i][1] = arr[i];
    }
    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = i - 1; j >= 0 && j >= i - d; j--){
            for(int m = 1; m < k && m <= j + 1; m++){
               dpmax[i][m + 1] = max(dpmax[i][m + 1], max(dpmax[j][m] * arr[i], dpmin[j] 
               [m] * arr[i]));
               dpmin[i][m + 1] = min(dpmin[i][m + 1], min(dpmax[j][m] * arr[i], dpmin[j] 
               [m] * arr[i]));
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        ans = max(ans, dpmax[i][k]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

可以看出时间复杂度为 $\small O(nkd)$ ，比之前的要小，空间复杂度为 $\small O(nk)$ 。第一篇博客，请大家指正批评！

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