二分图与Dilworth引理相关构造

（二分图）最大匹配=x

匈牙利或dinic
\[ S\to l: 1\\ l\to r: inf\\ r\to T: 1 \]
\(l\)与\(r\)匹配 <==> 残余网络上 \(l\to r = inf-1\)

（网络图）最小割=最大流

从\(S\)开始在残余网络上dfs，标记访问到的点

\((u,v)\)在最小割中 <==> \(u\)被标记，\(v\)没有被标记

（二分图）最大（权）独立点集=L+R-x

\[ S\to l: val[l]\\ l\to r: inf\\ r\to T: val[r] \]

原因：割掉的边一定是\(S\to l\)或\(r\to T\), 割掉这条边代表这个点不选，所以总点权-最小割即为答案

（二分图）最小点覆盖=x

最大独立点集的补集

（DAG）最小链划分

对于每个点\(i\)拆成\(l_i,r_i\)两个点分别表示出，入

对于原图的边\((u,v)\)建立\((l_u,r_v)\)

答案即原图点数n-最大匹配

原因：一开始每个点都是一条链，\(l_u\to r_v\)匹配表示将\(u\)结尾的链和\(v\)开头的链合并

方案：\(l_u\to r_v\)匹配，表示\(u->v\)在其中一条链上。拓扑排序后dfs即可

（DAG）最小链覆盖=最大反链

即\(引理Dilworth引理\)

\(可达u可达v\) 为偏序关系

链：两两之间可比的点集

反链：亮亮之间不可比的点集

最小链覆盖：求最少的链使得链的并为原图（与划分不同的是链之间可以有交集）

求法：用floyd求传递闭包后，再求最小链分割即可

最大反链：点数最大的反链

同求最小链覆盖，建出二分图

点\(u\)在最大反链中 <==> \(l_u,r_u\)同时在最大独立集中

原因：

1. 这些点一定构成反链。从其中取出任意两点，拆成的四个点都在最大独立集中，所以不存在连边。
2. 这些点构成的反链一定最大。
   • 设该二分图最大匹配为\(x\)，则 \(最小链覆盖最大反链最小链覆盖=最大反链=n-x\)
   • \(最大独立集最大独立集=2n-x\)，所以必然存在至少\(n-x\)个点左右同时在最大独立集中

（DAG）最小反链覆盖=最长链

最小反链覆盖：拓扑排序后每一层极为一个反链

最长链：入门dp

二者相等显然