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1.匹配
对于二分图有一个非常重要的判定：两个点集是独立的，即点集内部没有边相连
还有一些定义：
极大匹配：指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数
最大匹配：所有极大匹配当中边数最大的一个匹配
完全匹配：（完备匹配）：一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联
（以上定义均来自百度百科；\(by \ the \ way \ ,\) 我以前总认为百度百科的定义太生涩难懂了，就按照自己的理解去记忆，但是越往后面学，内容细节越来越繁多，自己的记忆就会出现知识点混乱等情况，而百度百科的定义是最严谨的，所以我觉得还是非常有必要了解百度百科的定义）
而我们所说的“二分图匹配”一般指“最大匹配”
最大匹配的一个基本算法——匈牙利算法，推荐一篇较好理解的博客，这里就不过多介绍了
2.最小点覆盖 \(=\) 最大匹配
一些定义
点覆盖：对于图 \(G=(V,E)\) 中的一个点覆盖是一个集合 \(S⊆V\) 使得每一条边至少有一个端点在 \(S\) 中。
最小点覆盖：就是中点的个数最少的S集合。普通图的最小点覆盖数只能用搜索解。
简单证明
\(1.\)合法的 若除去最大匹配选择的那些边，还有一条边的端点未被任意一条在匹配中的边覆盖，那这条边就会被加进最大匹配；所以最大匹配时不存在有一条边的两个端点都未被选中，及所有边都至少有一个端点在 \(S\) 中
\(2.\)最少的 因为此时任意删去一条边，都会导致某一条边出现两个端点都不被覆盖的情况，所以是最少的
3.最大独立集 \(=\) 点数\(n\) \(-\) 最小点覆盖 \(=\) 点数\(n\) \(-\) 最大匹配
定义
在N个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边的点中，m的最大值。
（这里要看清楚是两两之间没有边相连，而不是两两之间不连通）
简单证明
\(1.\)合法的 去掉了最小点覆盖中所有选择的点之后，剩下来所有的点，它们所连接的边全部被删除，即剩下的点间全部没有边相连
\(2.\)最少的 在点覆盖合法的情况下取了最少，再在前面添一个负号，即独立集取了最大
4.DAG的不可重点最小路径覆盖 \(=\) 点数\(n\) \(-\) 最大匹配
定义
找出最小的路径条数，使之成为 \(P\) 的一个路径覆盖，且每个点被且仅被一条路径覆盖
（看清楚是路径而不是边）
简单证明
假设最初状态为，每个点向自己这个点连的一条边，一共 \(n\) 条
然后开始扩展成路径，即每个点上的那条边尽可能的去和别的路径合并，每通过一条匹配边和另一条路径合并后，答案数就减一
所以答案等于 \(n \ -\) 最大匹配
5.DAG的可重点最小路径覆盖
定义
找出最小的路径条数，使之成为 \(P\) 的一个路径覆盖，且每个点至少被一条路径覆盖
结论&简单证明
我们把所有间接能到的点对，全部添一条直接到达的路径，相当于把中间所有的点打包，到时候遇到重复的就直接一次性越过（通过那条新连的边），然后再按照上面做不可重点即可
添一条路径很简单，直接 \(Floyd\)
F(i, 1, n)
F(j, 1, n)
F(k, 1, n)
if(mp[i][k] && mp[k][j])
mp[i][j] = 1;6.无向图的最大团 \(=\) 补图的最大独立集
定义
完全图：完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连
最大团：在一个无向图中找出一个点数最多的完全图
简单证明
其实很简单，补图的最大独立集中所有的点两两之间都没有边，放到原图里来两两之间就都有边了，\(over\)