1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型
2、交换行列式中的两行（列），行列式变号
3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素
5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代，例如，为下面的5阶行列式，求解代数余子式的和A11+A12+A13+A14+A15时，可以将其转换为求解中间的行列式值的问题；而求解余子式的和M11+M12+M13+M14+M15，可以将其转化为最右侧行列式求值的问题。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程，令系数行列式为D，Di为将等式右侧的值替换到行列式的第i列，则行列式的i个解为：
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。
矩阵运算：
一、矩阵的加法与减法
1、运算规则 设矩阵
则
两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 2、运算性质（假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律
交换律
；
结合律
．
二、矩阵与数的乘法
1、运算规则数
乘矩阵A，就是将数
乘矩阵A中的每一个元素，记为
或
． 特别地，称
称为
的负矩阵．
2、运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1 已知两个矩阵
满足矩阵方程
，求未知矩阵
．解 由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
1、运算规则 设
，
，则A与B的乘积
是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即
． (2) C的第
行第
列的元素
由A的第
行元素与B的第
列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2 设矩阵
计算
解
是
的矩阵．设它为
想一想：设列矩阵
，行矩阵
，
和
的行数和列数分别是多少呢
是3×3的矩阵，
是1×1的矩阵，即
只有一个元素．课堂练习 1、设
，
，求
．
2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
3、设列矩阵
，行矩阵
，求
和
，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
4、设三阶方阵
，三阶单位阵为
，试求
和
，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
解： 第1题
． 第2题 对于
，
． 求是有意义的，而是无意义的．
结论1 只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
第3题
是
矩阵，是
的矩阵．
．
结论2 在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与
均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
第4题 计算得：
．
结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即
． 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．典型例题例6.5.3 设
，试计算和
．解
．
结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若
，不能得出
或
的结论．
例6.5.4 利用矩阵的乘法，三元线性方程组
可以写成矩阵的形式
＝
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
，
，
， 则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：
2、运算性质（假设运算都是可行的）
(1) 结合律
(2) 分配律
（左分配律）；
（右分配律）．
(3)
3、方阵的幂定义：设A是方阵，
是一个正整数，规定
，
显然，记号
表示个A的连乘积．
四、矩阵的转置
1、定义
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作
或
． 例如，矩阵
的转置矩阵为
．
2、运算性质（假设运算都是可行的）
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
是常数．
2、运算性质（假设运算都是可行的）
(1)
(2)
(3)
(4) ， 是常数．
典型例题 例6.5.5 利用矩阵
验证运算性质：
解
而
所以
．
定义：如果方阵满足
，即
，则称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．
五、方阵的行列式
1、定义
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作
或
2、运算性质
(1)
（行列式的性质）
(2)
，特别地：
(3)
（
是常数，A的阶数为n）思考：设A为
阶方阵，那么
的行列式
与A的行列式
之间的关系为什么不是
，而是
？ 不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下
和
． 例如
，则
． 于是
，而
．思考：设
，有几种方法可以求
？解 方法一：先求矩阵乘法
，得到一个二阶方阵，再求其行列式． 方法二：先分别求行列式
，再取它们的乘积．