动态规划 —— 线性 DP —— 序列问题

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【基本概念】

1. 子序列： 一个序列 A＝a1,a2,……an 中任意删除若干项，剩余的序列叫做 A 的一个子序列。也可以认为是从序列 A 按原顺序保留任意若干项得到的序列。（例如：对序列｛1,3,5,4,2,6,8,7｝来说，序列｛3,4,8,7｝是它的一个子序列。）
2. 公共子序列 ：如果序列 C 既是序列 A 的子序列，也是序列 B 的子序列，则称它为序列 A 和序列 B 的公共子序列。（例如：对序列｛1,3,5,4,2,6,8,7｝和序列｛1,4,8,6,7,5｝来说，序列｛1,8,7｝是它们的一个公共子序列）
3. 最长公共子序列：A 和 B 的公共子序列中长度最长的（包含元素最多的）序列叫做 A 和 B 的公共子序列。（ 最长公共子序列不唯一）
4. 对于一个长度为 n 的序列，它一共有 2^n 个子序列，有 (2^n – 1) 个非空子序列。
5. 子序列不是子集，它和原始序列的元素顺序是相关的。
6. 空序列是任何两个序列的公共子序列。
7. 角标为 0 时，认为子序列是空序列。

【LIS问题】

LIS 问题（Longest Increasing Subsequence），最长上升子序列，其一般为求最长下降子序列或是最长上升子序列。

用 DP[i] 表示 A[i] 为结尾的最长上升子序列的长度，则有状态转移方程：

模板：

for(int i=2;i<=n+1;i++)
{
    int num=0;
    for(int j=i-1;j>=1;j--)
        if(a[i]>a[j])
            num=max(num,dp[j]);

    dp[i]=num+1;
}

【LCS 问题】

LCS 问题（Longest Common Subsequence），求序列的最长公共子序列。

F[i][j] 表示前缀子串 A[1~i] 与 B[1~j] 的最长公共子序列的长度，则有状态转移方程： 

即：

模板：

char s[MAX],t[MAX];  
scanf("%s%s",s,t);  
int x=strlen(s),y=strlen(t);  
for(i=0;i<x;i++)  
{  
    for(j=0;j<y;j++)  
    {
        if(s[i]==t[j])  
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;  
        else  
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);  
    }  
    printf("%d\n",dp[i][j]);              
}

【LCIS 问题】

LCIS 问题（Longest Common Increasing Subsequence），求序列的最长公共上升子序列。

用 F[i][j] 表示 A[1~j] 与 B[1~j] 可以构成的以 B[j] 为结尾的 LCIS 的长度，易得状态转移方程：

因此对于决策集合中的元素只增多不减少的情景，就可以维护一个变量来记录决策集合的当前消息，只需要两重循环即可求解。

模板：

for (int i=1;i<=n;++i)
{
    int val=0;//val是决策集合S(i,j)中f[i-1][k]的最大值 
    for(int j=1;j<=m;++j)
    {
        //原来的k循环+判断+状态转移 

        if (a[i]==b[j]) 
            f[i][j]=val+1;
        else 
            f[i][j]=f[i-1][j];

        if (b[j]<a[i]) 
            val=max(val,f[i-1][j]);

        //j即将增大为j+1,检查j能否进入新的决策集合 
    }
}