平移旋转齐次坐标变换欧拉角旋转矩阵坐标系间的旋转外参 Matlab

平移齐次坐标变换：

空间某点由矢量 $a\boldsymbol{i}+b\boldsymbol{j}+c\boldsymbol{k}$ 描述。其中， $\boldsymbol{i,j,k}$ 为轴 $x,y,z$ 上的单位矢量。此点可用平移齐次变换表示为：

$Trans(a,b,c)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋转齐次坐标变换：

$s$ 表 $sin$ ， $c$ 表 $cos$ ，非齐次去掉第四行第四列就行了。

绕x轴作转角为 $\theta$ 的旋转变换：

$Rot(x,\theta )=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c\theta & -s\theta & 0 \\ 0 & s\theta & c\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

绕y轴作转角为 $\theta$ 的旋转变换：

$Rot(y,\theta )=\begin{bmatrix} c\theta & 0 & s\theta & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ -s\theta & 0 & c\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

绕z轴作转角为 $\theta$ 的旋转变换：

$Rot(z,\theta )=\begin{bmatrix} c\theta & -s\theta & 0 & 0 \\ s\theta & c\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

如果先让物体绕z轴旋转90°，接着绕y轴旋转90°，再沿x轴方向平移4个单位，则：

$T=Trans(4,0,0)Rot(y,90)Rot(z,90)$

eul2rotm() (MatlabR2016a)

eul=[angle1 angle2 angle3] 时

eul2rotm(eul,'ZYX') 是先绕X旋转angle3，再绕Y旋转angle2，再绕Z旋转angle1。（ eul2rotm中为弧度）

如：

eul = [pi pi/2 pi/2];
rotm = eul2rotm(eul,'ZYX'); a=rotm*[0 1 0]'

eul = [pi pi/2 pi/2];
rotm = eul2rotm(eul,'ZYX');   a=rotm*[0 1 0]'

表示 [0;1;0] 即y轴单位向量，先绕X旋转90°，再绕Y旋转90°，最后绕Z旋转180°，结果 a=[-1;0;0]。

也可以：

eul2 = rad2deg([pi pi/2 pi/2]);
rotm2 = rotz(eul2(1)) * roty(eul2(2)) * rotx(eul2(3)); b=rotm2*[0 1 0]'

eul2 = rad2deg([pi pi/2 pi/2]);
rotm2 = rotz(eul2(1)) * roty(eul2(2)) * rotx(eul2(3));   b=rotm2*[0 1 0]'

b也为[-1;0;0]（rotx,y,z 中为角度）。

坐标系间的旋转

$P_{c1}$ : P在c1坐标系下的坐标（列向量）

$P_{c2}$ : P在c2坐标系下的坐标（列向量）

$_{c2}^{c1}\textrm{R}$ : c2坐标系相对于c1坐标系的方位，即 c1坐标系到c2坐标系的旋转

（若此时还有c3坐标系，且知道 $_{c2}^{c1}\textrm{R}$ ， $_{c3}^{c1}\textrm{R}$ ，则 $_{c3}^{c2}\textrm{R} = _{c2}^{c1}\textrm{R}^{-1} * _{c3}^{c1}\textrm{R}$ ）

则:

$P_{c1}=_{c2}^{c1}\textrm{R}* P_{c2}$

若还有 t: c1坐标系到c2坐标系的平移（如 t=[1,0,0]' 表示c1坐标系沿x轴向前移动一个单位即为c2坐标系），则

$_{c2}^{c1}\textrm{T}=\begin{bmatrix} _{c2}^{c1}\textrm{R} &t \\ 0& 1 \end{bmatrix}$

$P_{c1}= _{c2}^{c1}\textrm{T} * P_{c2}$

（此时Pc1，Pc2皆为齐次坐标）

例：假设坐标系c1和坐标系c2（右手坐标系，右手定则旋转）， c1坐标系下的点 Pc1 (0,1,0) ，经 R=rotz(90°)，t=[1;0;0] 变换后在c2坐标系下的坐标是 Pc2 (1,1,0) 。
Matlab(R2016a) 程序如下：

>> pc1=[0;1;0];
R=rotz(90);
t=[1;0;0];
T=[R,t;0,0,0,1];
pc2=inv(T)*[pc1;1]

pc2 =

     1
     1
     0
     1

T表示 c1坐标系先绕z轴旋转90° 再在原c1坐标系下沿x轴平移一个单位到c2坐标系；

也可表示为 c1坐标系先沿x轴平移一个单位再绕z轴旋转90° 到c2坐标系。

那么 $_{c2}^{c1}\textrm{R} *P_{c1}$ 是什么呢？
Pc1 此时可以理解为c1坐标系下的y轴方向向量。
$\dpi{100} rotz(90^{\circ})*\left [ 0,1,0 \right ]'=\left [ -1,0,0 \right ]'$

这个结果表示：c1坐标系的y轴方向向量 经旋转后在c1坐标系下的新坐标。

注：

右手坐标系：右手拇指、食指和中指分别代表x，y，z轴的正方向。

右手定则：右手的大拇指指向轴的正方向，弯曲其余手指，那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向。