【蓝桥杯】基础练习 2n皇后问题

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问题描述
　　给定一个 $n*n$的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入 $n$个黑皇后和 $n$个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？ $n$小于等于8。
输入格式
　　输入的第一行为一个整数 $n$，表示棋盘的大小。
　　接下来 $n$行，每行 $n$个0或1的整数，如果一个整数为1，表示对应的位置可以放皇后，如果一个整数为0，表示对应的位置不可以放皇后。
输出格式
　　输出一个整数，表示总共有多少种放法。
样例输入
$4$
$1$ $1$ $1$ $1$
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
样例输出
2
样例输入
4
1 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
样例输出
0

个人分析：这是一道很经典的搜索问题。题目要求我们放置 $n$个黑皇后、 $n$个白皇后，且都要满足相同的规则。按照实际摆放的话，我们很容易想到其步骤，第一步先将 $n$个黑/白皇后按照规则放置入棋盘，然后将棋盘上不能放置皇后的点将其剔除，再按照规则放置白/黑皇后。

我们用代码实现就可以采用 $dfs$进行搜索，搜索哪些位置可以放置皇后。按照上述的思路，我们用 $dfs$来先放置黑皇后，再放置白皇后；这里呢有个小 $tip$，因为不管摆放黑皇后还是白皇后，都是遵守相同的规则，然后我们就可以只利用一个 $dfs$，传给其一个参数 $p$，当 $p = 1$时表示摆放黑皇后， $p = 2$时代表摆放白皇后， $p = 3$时就结束了，代表这是一种方式可以摆放 $2n$皇后。

具体实现如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int mp[10][10]; 
int n;
//col标记列，vx标记正斜线，vy标记反斜线
int col[10], vx[20], vy[20];
int ans;  //记录方式多少种
void dfs(int x, int p) {
	//第n行摆放白皇后完成，即代表一种摆放方式
	if (x == n && p == 2) {
		++ans;
		return;
	}
	//摆放黑皇后完成，然后摆放白皇后
	if (x == n) {
		dfs(0, p + 1);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		/*1.首先该位置不能为0，即表示能放皇后(mp[x][i] != 0)
		* 2.然后col[i] != 3、vx[x + i] != 3、vy[x - i + n] != 3，表示还有皇后没有放置
		* 3.col[i] != p、vx[x + i] != p、vy[x - i + n] != p，表示不能与该皇后同一列、同一斜线
		*/
		if (mp[x][i] && col[i] != 3 && col[i] != p && vx[x + i] != 3 && vx[x + i] != p && vy[x -i + n] != 3 && vy[x - i + n] != p) {
			mp[x][i] = 0;
			col[i] += p;
			vx[x + i] += p;
			vy[x - i + n] += p;
			dfs(x + 1, p);
			//回溯
			col[i] -= p;
			vx[x + i] -= p;
			vy[x - i + n] -= p;
			mp[x][i] = 1;
		}
	}
}
int main(int argc, char** argv) {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		for (int j = 0; j < n; ++j) {
			scanf("%d", &mp[i][j]);
		}
	}
	dfs(0, 1);  //先摆放黑皇后
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}