自适应辛普森积分学习小记

版权声明：转吧转吧这条东西只是来搞笑的。。 https://blog.csdn.net/jpwang8/article/details/88218534

BG

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今天没题做，来康点好康的

正题

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我们要求 $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
方法一：
$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim\limits_{n\to +\infty}^{}\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{i}{n})\cdot \frac{1}{n}$
方法二：
$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)，\; 满足F'(x)=f(x)$

以上是中学课本内容

方法三：
辛普森积分只能用来算有限精度的实数
我们用二次函数拟合某一个函数 $f(x)$，即令 $f(x)\approx Ax^2+Bx+C$
那么： $\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx\int_{a}^{b}{(Ax^2+Bx+C)dx}$
又有 $\int_{a}^{b}{(Ax^2+Bx+C)dx}=\frac{A}{3}(b^3-a^3)+\frac{B}{2}(b^2-a^2)+C(b-a)$
化简得到 $原式=\frac{(b-a)(2Ab^2+2Aab+2Aa^2+3Bb+3+6C)}{6}=\frac{(b-a)(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2}))}{6}$

所谓自适应就是加入判断精度的流程使得结果更加合理

我们发现这个东西的精度和 $b-a$有关，那么递归做就可以了
具体说来就是f(a,b)表示a到b的积分，f(a,b)=f(a,mid)+f(mid,b)这样递归
精度的话我们用辛普森积分算出(a,mid)和(mid,b)，与(a,b)比较，如果相差在允许范围内退出就行了

Code

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double solve(double l,double r) {
	double mid=(l+r)*0.5;
	if (f(l,mid)+f(mid,r)-f(l,r)<eps) return f(l,r);
	return solve(l,mid)+solve(mid,r);
}