一维卷积积分学习实例

本文主要参考内容为奥本海姆《信号与系统》2.2节连续时间线性时不变系统卷积积分，若有不正确的地方，敬请指正。

例 假设某一线性时不变系统的输入为$x\left( t \right)$，其单位冲激响应为$h\left( t \right)$，其中

$$x\left( t \right) = {{\text{e}}^{ - at}}u\left( t \right),\ \ \ \ \ a > 0,h\left( t \right) = u\left( t \right)$$
$u\left( t \right)$特指连续时间单位阶跃函数

相关函数示意图如下图所示：

上图分别画出了$h\left( \tau \right)$、$x\left( \tau \right)$以及对应于某个正值$t$和负值$t$的$h\left( t-\tau \right)$的函数图像。从图中可以看出，由于$t<0$时，$x\left( \tau \right)$与$h\left( t-\tau \right)$的乘积为0，所以卷积$y\left( t \right)=0$；而对于$t>0$，则有

$$x\left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right) = \left\{ \begin{gathered} {{\text{e}}^{ - a\tau }}, \ \ \ \ 0 < \tau < t \\ 0, \ \ \ \ {\text{others}} \\ \end{gathered} \right.$$

注意：卷积公式为$y\left( t \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x\left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right)} {\text{d}}\tau$，关于对卷积的理解可以参考知乎上的讨论：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457

刚刚提及，当$t<0$时，$x\left( \tau \right)$与$h\left( t-\tau \right)$的乘积为0，在此进行解释：

$$\begin{gathered} x\left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right) & = {{\text{e}}^{ - a\tau }}u\left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right) \\ & = {{\text{e}}^{ - a\tau }}u\left( \tau \right)u\left( {t - \tau } \right) \\ \end{gathered}$$
当 $t<0$时，不论 $\tau$取何值，都有 $u\left( \tau \right)u\left( {t - \tau } \right) = 0$，因此上式为0，从而定积分 $y \left( t \right)$也等于0.

现在计算$t>0$时的卷积积分，有

$$\begin{align} y\left( t \right) &= \int_0^t {x\left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right){\text{d}}\tau } \\ &= \int_0^t {{{\text{e}}^{ - a\tau }}u\left( \tau \right)u\left( {t - \tau } \right){\text{d}}\tau } \\ \end{align}$$
观察 $u\left( t \right)$的函数图像可知，当 $t>0$且 $0<\tau<t$的条件下，始终有 $u\left( \tau \right)u\left( {t - \tau } \right) = 1$，这样有
$$\begin{align} y\left( t \right) & = \int_0^t {{{\text{e}}^{ - a\tau }}{\text{d}}\tau } \ \\ & = \left. { - \frac{1}{a}{{\text{e}}^{ - a\tau }}} \right|_0^t \\ & = \frac{1}{a}\left( {1 - {{\text{e}}^{ - a\tau }}} \right) \\ \end{align}$$
对于所有的 $t$，将表达式统一起来，得出最终表达式
$$y\left( t \right) = \frac{1}{a}\left( {1 - {{\text{e}}^{ - a\tau }}} \right)u\left( t \right)$$
之所以末尾需要加一个 $u\left( t \right)$，是因为当 $t<0$时，可以让 $y\left( t \right)$为0.