辛普森自适应积分

前言：

神奇的东西qwq

基本概念：

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ 这个式子表示在区间 a b上对函数f(x)求定积分.
怎么求呢？
高中课本里告诉我们
$\int_{a}^{b} f(x)\, dx=F(a)-F(b)$ F(x)为f(x)的原函数，也就是F(x)的导函数为f(x)

然而某些函数的原函数极其难求.
比如要求原的函数长得很复杂，要求的原函数非初等函数.

那么这个时候我们就不能去准确的求出这个积分值了，而是要引入一种近似化的思想.
定积分f(x)的定义也就是曲线f(x)下方的面积（假设f(x)恒大于0）
这个时候我们就需要引入一种近似化求这个面积的方法–辛普森积分法

在区间[a,b]内等间距的取奇数个点
$a=x_0,x1,x2,x3...x_n=b$ 间距为 $\Delta x$
那么 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \frac{ \Delta x}{3}(y_0+4y_1+y_2)+ \frac{ \Delta x}{3}(y_2+4y_3+y_4)+...+\frac{ \Delta x}{3}(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)$
精确度与取的点数成正比.
如果只取三点，那么
$\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \frac{b-a}{6}(f(a)+4f( \frac{b-a}{2})+f(b))$
这就是三点辛普森公式，又简称辛普森公式.
当然我们如果只取三点显然精度不够，多了又会导致Tle
那么到底取多少个合适呢？

辛普森积分有个很重要的变种，叫做辛普森自适应积分，具体来说就是根据一些方法，使得在容易近似的区间少划分积分，不容易近似的区间多划分几分，也就是所谓的自适应了.

具体的话也就是

$c=(a+b)/2$

若 $|s(a,c)+s(c,b)-s(a,b)|<=15*EPS$ 就说明本区间的进行三点划分即可，否则继续递归划分，EPS也需要/2

返回结果为
$s(a,c)+s(c,b)+(s(a,c)+s(c,b)-s(a,b))/15.0)$

直接返回 $s(a,b)$ 的话，貌似误差偏大

代码实现：

inline double f(double x)
{
    /*函数表达式*/
}
inline double simpson(double l,double r)
{
    double mid=(l+r)/2.0;
    return (f(l)+4.0*f(mid)+f(r))*(r-l)/6.0;
} 
inline double solve(double l,double r,double eps)
{
    double mid=(l+r)/2.0;
    double s=simpson(l,r),sl=simpson(l,mid),sr=simpson(mid,r);
    if(std::fabs(sl+sr-s)<=15.0*eps) return (sl+sr+(sl+sr-s)/15.0);
    return solve(l,mid,eps/2.0)+solve(mid,r,eps/2.0);
}

例题：

Hdu 1724
求一个区间的椭圆面积，可以直接计算椭圆在X轴以上的面积，最后答案*2
在上方的椭圆轨迹可以看做一个函数，写出Y关于X的表达式，然后套用辛普森自适应积分求解即可

Ac 代码：

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
double a,b;
inline double f(double x)
{
    double x1=sqrt(1.0-(x/a)*(x/a));
    return b*x1;
}
inline double simpson(double l,double r)
{
    double mid=(l+r)/2.0;
    return (f(l)+4.0*f(mid)+f(r))*(r-l)/6.0;
} 
inline double solve(double l,double r,double eps)
{
    double mid=(l+r)/2.0;
    double s=simpson(l,r),sl=simpson(l,mid),sr=simpson(mid,r);
    if(std::fabs(sl+sr-s)<=15.0*eps) return (sl+sr+(sl+sr-s)/15.0);
    return solve(l,mid,eps/2.0)+solve(mid,r,eps/2.0);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        double l,r;
        scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&l,&r);
        printf("%.3lf\n",2.0*solve(l,r,1e-5));
    }
    return 0;
}