自适应simpson积分

辛普森积分是数值积分的一种，是中点公式和梯形公式的改进。

假定我们要求如下定积分

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

略微懂一点微积分知识的都知道，对于一个黎曼可积的函数，我们要求其在某个闭区间上的定积分，要先求该函数的不定积分，即先求原函数。就是找到一个函数F(x)，使得F′(x)=f(x)，然后根据牛顿—莱布尼茨公式，即：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

而有时候原函数并不好求，比如要求原的函数很复杂，要求的原函数非初等函数，但用程序进行积分，一般的方法是矩形（梯形）切割法，但精度比较差。这里用Simpson积分公式，原理是用二次曲线逼近原函数，精度比矩形切割要好。

引理：在平面直角坐标系中，由任意三点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)（x1<x2<x3，x2 = (x1 + x3)/2）确定的抛物线y= f(x)在[x1, x3]的定积分为

证明如下：引自传送门

在区间[a,b][a,b]中等距地取奇数个点a=x0,x1,x2,...,xn=b，相邻两点间的距离为Δx，再设yi=f(xi)，然后套用公式

点取得越多，近似程度就越高，但计算量也越大，当只取三个点的时候，有

这就是三点辛普森公式，又简称辛普森公式。
然而如果只取三个点误差肯定大，取太多的点计算量也会上去。那么到底取多少个点合适呢？

还好辛普森积分有一个重要的“变种”，称为自适应辛普森法(adaptive Simpson’s rule)，设置一个精度Eps，让算法根据具体情况递归的划分区间，容易近似的地方少划几份，不容易近似的地方多划几份。这就是所谓的“自适应”。

具体的话，就是设区间[a,b]的中点为c，则当且仅当

时(加==亦可)直接返回结果，否则递归调用，再次划分区间。递归调用时精度Eps也要相应地减小一半。

这里的S(a,b)就是[a,b]的三点辛普森公式值，返回的结果是S(c,b)+S(a,c)+Δs，Δs=[S(a,c)+S(c,b)−S(a,b)]/15|。顺便提醒一句，如果直接返回S(a,b)的话，可能存在的误差超出可接受范围，就是比较可能会出错。

double f(double x){
    return x * x + x;//写要求辛普森积分的函数
}

double simpson(double L, double R){//三点辛普森积分法，要求f(x)是全局函数
    double mid = (L + R) / 2.0;
    return (f(L) + 4.0 * f(mid) + f(R)) * (R - L) / 6.0;
}

double integral(double L, double R, double Eps){//自适应辛普森积分递归过程
    double mid = (L + R) / 2.0;
    double ST = simpson(L, R), SL = simpson(L, mid), SR = simpson(mid, R);
    if(fabs(SL + SR - ST) <= 15.0 * Eps)  return SL + SR + (SL + SR - ST) / 15.0;//直接返回结果
    return integral(L, mid, Eps/2.0) + integral(mid, R, Eps/2.0);//对半划分区间
}

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