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正文前的扯淡
之前电话面试一个公司时，面试官让写一个堆排序，遗憾的是我忘了堆排序的思想了，所以直接说不会写，这次电面也以失败告终...知耻后勇，这几天在网上找了很多写堆排序的帖子，但是帖子质量不好，堆排序是什么不介绍，代码也非常不详细，看了半天没整明白，不过好在今天找出了数据结构课的课本，系统复习后，尝试用Python写出了一个堆排序。
目录
- 堆排序介绍
- 堆排序算法详解+Python实现
堆排序涉及到的概念
- 堆排序是利用 堆进行排序的
- 堆是一种完全二叉树
- 堆有两种类型: 大根堆 小根堆
-
两种类型的概念如下：
大根堆：每个结点的值都大于或等于左右孩子结点
小根堆：每个结点的值都小于或等于左右孩子结点
因为比较抽象，所以专门花了两个图表示
大根堆
小根堆
那么，什么是完全二叉树呢？
完全二叉树 是 一种除了最后一层之外的其他每一层都被完全填充，并且所有结点都保持向左对齐的树，向左对齐指的是：
向左对齐的完全二叉树
像这样的树就不是完全二叉树：
image.png
如果给上面的大小根堆的根节点从1开始编号，则满足下面关系(下图就满足这个关系)：
满足关系
如果把这些数字放入数组中，则如下图所示：其中，上面的数字是数组下标值，第一个元素占位用。
数组中的大根堆
堆排序算法详解+Python实现
了解了堆。下面我们来看下堆排序的思想是怎样的(以大根堆为例)：
- 首先将待排序的数组构造出一个大根堆
- 取出这个大根堆的堆顶节点(最大值)，与堆的最下最右的元素进行交换，然后把剩下的元素再构造出一个大根堆
- 重复第二步，直到这个大根堆的长度为1，此时完成排序。
下面通过图片来看下，第二个步骤是如何进行的：
首先把2和9的位置互换
互换位置后把2的位置进行调整，重新构造出一个大根堆
构造结果如下，这就选出了一个元素，然后再把10和80的位置互换，继续进行上面的步骤
这就是构建大根堆的思想，了解了之后就可以进行编码，编码主要解决两个问题：
- 如何把一个序列构造出一个大根堆
- 输出堆顶元素后，如何使剩下的元素构造出一个大根堆
根据问题进行编码，由于数组下标是从0开始的，而树的节点从1开始，我们还需要引入一个辅助位置，Python提供的原始数据类型list实际上是一个线性表(Array),由于我们需要在序列最左边追加一个辅助位，线性表这样做的话开销很大，需要把数组整体向右移动，所以list类型没有提供形如appendleft的函数，但是在一个链表里做这种操作就很简单了，Python的collections库里提供了链表结构deque，我们先使用它初始化一个无序序列：
from collections import deque
L = deque([50, 16, 30, 10, 60, 90, 2, 80, 70])
L.appendleft(0)
此时L如下：
In [2]: L
Out[2]: deque([0, 50, 16, 30, 10, 60, 90, 2, 80, 70])
根据我们上面找出的两个难点，可以先编出heap_sort函数：
def heap_sort(L):
L_length = len(L) - 1
first_sort_count = L_length / 2
for i in range(first_sort_count):
heap_adjust(L, first_sort_count - i, L_length)
for i in range(L_length - 1):
L = swap_param(L, 1, L_length - i)
heap_adjust(L, 1, L_length - i - 1)
return [L[i] for i in range(1, len(L))]
讲解：
- 因为引入了一个辅助空间，所以使
L_length = len(L) - 1 - 第一个循环做的事情是把序列调整为一个大根堆(
heap_adjust函数) - 第二个循环是把堆顶元素和堆末尾的元素交换(
swap_param函数)，然后把剩下的元素调整为一个大根堆(heap_adjust函数)
我们要排序的序列为deque([50, 16, 30, 10, 60, 90, 2, 80, 70]),但是在第一个循环中，我们用了一个辅助变量first_sort_count,循环时，这个值变化的顺序是4->3->2->1,这是为什么呢。实际上，这些数字代表的是有孩子的节点，从下图可以看出，而我们所谓的调整大根堆，其实就是按照从右往左，从下到上的顺序，把每颗小树调整为一个大根堆。4->3->2->1的调整，其实就是10->30->16->50的调整。
节点含义
swap_param函数很简单，我们根据Python的特点，无需引入中间变量，直接交换堆顶元素和最后元素即可，代码如下：
def swap_param(L, i, j):
L[i], L[j] = L[j], L[i]
return L
下面让我们看下最关键的堆调整函数heap_adjust：
def heap_adjust(L, start, end):
temp = L[start]
i = start
j = 2 * i
while j <= end:
if (j < end) and (L[j] < L[j + 1]):
j += 1
if temp < L[j]:
L[i] = L[j]
i = j
j = 2 * i
else:
break
L[i] = temp
这段代码比较抽象，我们结合实际例子把自己想象成一个解释器来看一下：
处理过程
- 第一个循环在第一个调用这个函数时，start=4, end=9,L=[0, 50, 16, 30, 10, 60, 90, 2, 80, 70],进行
temp = L[start],实际就是temp=L[4]=10,i=start， i此时为4，拿到我们要处理的树节点，j = 2*i，j此时得到第四个节点的左子树坐标，接着开始循环，循环条件j <= end代表在调整完整棵树树之前一直进行循环。第一个条件if (j < end) and (L[j] < L[j + 1])是要保证 j 取到较大子树的坐标，由于左子树大于右子树，所以这个if表达式不进行。
树
第二个if 表达式，要做的如果根节点小于子树的值，就把根节点和较大的子树的值进行交换，temp<L[j]：10<80，所以执行if内的语句：L[i] = L[j]执行后L[i]为80，i = j执行后i=8，j = 2 * i,执行后j为16，此时不满足循环条件，退出循环，然后执行L[i] = temp,执行后L[i] = 10。
这个函数其实就是把每个子树的根节点和较大的子节点进行值交换。而且如果在左子树 依然是根节点的情况下继续进行调整。 读者可以自己照着图调整几次就可以很好的理解代码的含义了。
这样调整4次后，这棵树就变成了一个大根堆，此时序列变成了这样：
第一个循环之后的序列
接下来进行第二个循环。
for i in range(L_length - 1):
L = swap_param(L, 1, L_length - i)
heap_adjust(L, 1, L_length - i - 1)
首先L = swap_param(L, 1, L_length - i)交换第一个节点和最后一个节点的值(因为我们引入了一个辅助空间，所以序列长度减1)，此时序列变成了[16, 80, 50, 70, 60, 30, 2, 10, 90] 接下来对[16, 80, 50, 70, 60, 30, 2, 10]进行调整，由于我们之前已经把序列调整为了大根堆，所以此时循环条件变为从堆顶进行小范围调整就可以。
这次调整后，堆变为：
调整的过程
调整的结果
然后继续把10和80进行交换，继续调整，直到遍历完整个序列为止。
完整代码如下：
from collections import deque
def swap_param(L, i, j):
L[i], L[j] = L[j], L[i]
return L
def heap_adjust(L, start, end):
temp = L[start]
i = start
j = 2 * i
while j <= end:
if (j < end) and (L[j] < L[j + 1]):
j += 1
if temp < L[j]:
L[i] = L[j]
i = j
j = 2 * i
else:
break
L[i] = temp
def heap_sort(L):
L_length = len(L) - 1
first_sort_count = L_length / 2
for i in range(first_sort_count):
heap_adjust(L, first_sort_count - i, L_length)
for i in range(L_length - 1):
L = swap_param(L, 1, L_length - i)
heap_adjust(L, 1, L_length - i - 1)
return [L[i] for i in range(1, len(L))]
def main():
L = deque([50, 16, 30, 10, 60, 90, 2, 80, 70])
L.appendleft(0)
print heap_sort(L)
if __name__ == '__main__':
main()
运行结果如下：
python heap_sort2.py
[2, 10, 16, 30, 50, 60, 70, 80, 90]
作者：一根薯条
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