【2019/02/18测试T2】玩具

【题目】

传送门

题目描述：

这个故事发生在很久以前，在 IcePrincess_1968 和 IcePrince_1968 都还在上幼儿园的时候。

​IcePrince_1968 最近迷上了一种玩具，这种玩具中有两种零件：圆球和棍子。棍子的两头可以插在两个圆球上的各一个空洞中，从而将两个圆球连接起来。为了保证玩具的娱乐性，任意一个圆球上的空洞个数总是多于玩具套装中的棍子数。你可以认为圆球是没有体积的，所有棍子的长度均为 $1$。

​IcePrince_1968 喜欢这样玩这种玩具：他先摸出玩具袋里的一个圆球放在地上，然后重复下面的操作 $n-1$ 次：每次从袋中取出一个圆球和一根棍子，然后等概率的从地上的圆球中选择一个，将该圆球和选择的圆球用棍子连起来，使得新的圆球在选中圆球的正上方。

​IcePrince_1968 对自己搭出的艺术品很满意，便决定把这个物品送给 IcePrincess_1968 作为生日礼物。然而生日礼物是需要包装的，因为默认圆球没有体积，所以 IcePrince_1968 不用考虑包装盒的长和宽，但是包装盒的高是需要确定的，这里我们假设 IcePrince_1968 是一个非常节俭的孩子，所以包装盒的高总是等于艺术品的高度。IcePrince_1968 想知道自己需要的包装盒的高的期望对质数 $p$ 取模后的值，但他还在上幼儿园，怎么会算呢，于是就请你来帮助他。

输入格式：

输入数据仅一行，包含两个正整数 $n,p$，表示最终的艺术品中圆球的个数和模数 $p$。

输出格式：

输入文件仅一行，一个正整数，表示包装盒的高的期望对质数 $p$ 取模后的值。

样例数据：

输入
3 998244353

输出
499122178

提示：

【输入输出样例 $1$ 解释】

三个圆球组成的艺术品，高度只可能是 $1$ 或者 $2$，所以高度的期望是 $1.5$，在模 $998244353$ 下的期望是 $499122178$。

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，满足 $n\le 10$， $p\le1,000,007$；

对于 $50\%$ 的数据，满足 $n\le20$；

对于 $70\%$ 的数据，满足 $n\le50$；

对于 $100\%$ 的数据，满足 $n\le200$， $p\le1,000,000,007$， $p$ 是质数。

【分析】

这道题我不是很会，先放上题解吧。

显然我们可以把最后做出来的玩具当成一棵树。

定义 $f_{i,j}$ 为有 $i$ 个点的树，深度不超过 $j$ 层的概率， $g_{i,j}$ 为有 $i$ 个点的森林，深度不超过 $j$ 层的概率。

还有一个要预处理的：设 $dp_{i,j}$ 表示对于有 $i$ 个点的森林，有 $j$ 个点在第一个子树内的概率。

那么预处理的转移方程就是：

$dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}\times (j-1)\times inv(i) + dp_{i-1,j}\times (i-j)\times inv(i)$

然后又因为 $f_{i,j}$ 可以从 $g_{i-1,j-1}$ 直接转移过来，就是:

$g_{i,j}= \sum_{k=1}^{i} f_{k,j} \times g_{i-k,j} \times dp_{i,k}$

最后的答案就是 $\sum\limits_{i=1}^{n-1} (f_{n,i}-f_{n-1,i})$

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 205
using namespace std;
int n,p;
int dp[N][N],f[N][N],g[N][N],inv[N];
signed main()
{
	int i,j,k,ans=0;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	inv[0]=inv[1]=1,dp[1][1]=1;
	for(i=2;i<=n;++i)  inv[i]=1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
	for(i=2;i<=n;++i)
	  for(j=1;j<=n;++j)
	    dp[i][j]=(1ll*dp[i-1][j-1]*(j-1)%p*inv[i]%p+1ll*dp[i-1][j]*(i-j)%p*inv[i]%p)%p;
	for(i=0;i<=n;++i)  g[0][i]=1;
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		for(j=0;j<=n;++j)
		{
			if(j)  f[i][j]=g[i-1][j-1];
			else  if(i==1)  f[i][j]=1;
			for(k=1;k<=i;++k)
			  g[i][j]=(g[i][j]+1ll*f[k][j]*g[i-k][j]%p*dp[i][k]%p)%p;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;++i)
	  ans=(ans+1ll*(f[n][i]-f[n][i-1]+p)%p*i%p)%p;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}