【SDOI 2009】E&D

【题目】

传送门

题目描述：

小 E 与小 W 进行一项名为 “E&D” 游戏。游戏的规则如下：

桌子上有 $2n$ 堆石子，编号为 $1\dots2n$ 。其中，为了方便起见，我们将第 $2k-1$ 堆与第 $2k$ 堆（ $1≤k≤n$）视为同一组。第 $i$ 堆的石子个数用一个正整数 $S_i$ 表示。

一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于 $0$ 。显然，被分割的一堆的石子数至少要为 $2$ 。

两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为 $1$ ，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。小 E 进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策略使得他一定能战胜小 W 。因此，他求助于小 F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。

例如，假设初始时桌子上有 $4$ 堆石子，数量分别为 $1,2,3,1$ 。小 E 可以选择移走第 $1$ 堆，然后将第 $2$ 堆分割（只能分出 $1$ 个石子）。接下来，小 W 只能选择移走第 $4$ 堆，然后将第 $3$ 堆分割为 $1$ 和 $2$ 。最后轮到小 E，他只能移走后两堆中数量为 $1$ 的一堆，将另一堆分割为 $1$ 和 $1$ 。这样，轮到小 W 时，所有堆的数量均为 $1$ ，则他输掉了比赛。故小 E 存在必胜策略。

输入格式：

输入第一行是一个正整数 $T$（ $T≤20$），表示测试数据数量。接下来有 $T$ 组数据。

对于每组数据，第一行是一个正整数 $n$，表示桌子上共有 $n$ 堆石子。其中，输入数据保证 $n$ 是偶数。

第二行有 $n$ 个正整数 $S_1\dots S_n$，分别表示每一堆的石子数。

输出格式：

输出包含 $T$ 行。对于每组数据，如果小 E 必胜，则输出一行 “YES”，否则输出 “NO”。

样例数据：

输入
2
4
1 2 3 1
6
1 1 1 1 1 1

输出
YES
NO

备注：

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据： $n = 2$；
对于另外 $20\%$ 的数据： $n≤4；S_i≤50$；
对于 $100\%$ 的数据： $n≤2×10^4；S_i≤2×10^9$。

【分析】

这道题可以换成 $\frac{n}{2}$ 个子问题，求出每个子问题的 $SG$ 函数值异或一下求值即可。

对于这道题，有两个性质：

1. 若 $x$ 和 $y$ 都是奇数，则 $SG(x,y)=0$
2. 否则， $SG(x,y)=SG(\lceil\frac{x}{2}\rceil,\lceil\frac{y}{2}\rceil)+1$

简单证一下第一个，第二个实在不会证（打表打出来的）

证明： $SG(x,y)$ 在 $x$ 和 $y$ 均为奇数时为必败态。

此时，先手只能分割奇数，而用奇数一定会分割出一个偶数 $x_1$ 和另一个奇数 $y_1$。

后手的最优策略就是，舍去奇数，将 $x_1$ 分割为 $x_1-1$ 和 $1$ 即可，那么先手只能分割 $x_1-1$ 而这个数又是一个奇数，也就是说先手只能分割奇数，后手只能分割偶数，那么最后一定是后手分割 $2$，变为 $1$ 和 $1$，此时先手输。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int SG(int x,int y)
{
	if((x&1)&&(y&1))  return 0;
	return SG((x+1)/2,(y+1)/2)+1;
}
int main()
{
	int n,i,T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int x,y,res=0;
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n>>1;++i)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			res^=SG(x,y);
		}
		puts(res?"YES":"NO");
	}
	return 0;
}