BZOJ 1228: [SDOI2009]E&D 博弈论：打表找规律

title

小E 与小W 进行一项名为“E&D”游戏。游戏的规则如下：桌子上有2n 堆石子，编号为1…2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1 堆与第2k 堆（1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于0。显然，被分割的一堆的石子数至少要为2。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为1，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。小E 进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策略使得他一定能战胜小W。因此，他求助于小F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。例如，假设初始时桌子上有4 堆石子，数量分别为1,2,3,1。小E可以选择移走第1堆，然后将第2堆分割（只能分出1 个石子）。接下来，小W 只能选择移走第4 堆，然后将第3 堆分割为1 和2。最后轮到小E，他只能移走后两堆中数量为1 的一堆，将另一堆分割为1 和1。这样，轮到小W 时，所有堆的数量均为1，则他输掉了比赛。故小E 存在必胜策略。

Input

的第一行是一个正整数T（T ≤ 20），表示测试数据数量。接下来有T组数据。对于每组数据，第一行是一个正整数N，表示桌子上共有N堆石子。其中，输入数据保证N是偶数。第二行有N个正整数S1…SN，分别表示每一堆的石子数。

Output

包含T 行。对于每组数据，如果小E 必胜，则输出一行”YES”，否则输出”NO”。

Sample Input

2
4
1 2 3 1
6
1 1 1 1 1 1

Sample Output

YES
NO

【数据规模和约定】

对于20%的数据， $N = 2$ ；
对于另外20%的数据， $N ≤ 4，Si ≤ 50$ ；
对于100%的数据， $N ≤ 2×10^4，Si ≤ 2×10^9$ 。

analysis

这里将一组石子视为一个独立的 $NIM$ 游戏。

根据 $SG$ 定理，所有组的 $SG$ 值异或和 $非0$ 即为 $先手必胜$ ，反之为 $先手必败$ 。

而每组石子的 $SG$ 值该怎样得出呢？当然是可以采用爆搜的，然而时间上不允许，所以肯定是有什么

神奇的剪枝，其实剪枝也挺麻烦，所以不如打表，我们设 $SG(x,y)$ 表示一组状态为 $（x，y）$ 的

$SG$ 值，发现有以下规律：
$SG\left( x,y\right) =\begin{cases}0，\qquad \qquad \qquad \qquad \quad x,y都是奇数\\ SG\left( \lceil \dfrac {x}{2}\rceil，\lceil \dfrac {y}{2}\rceil\right) +1，\text{ \text{ }} x,y至少有一个是偶数\end{cases}$
这样我们就可以有一个 $O(logn)$ 的优秀搜索求 $SG$ 值了，所以总时间复杂度就是 $O(nlogn)$ 了，可以说是很优秀了。

想知道那张表长什么样子的话，请看这位同学的 $blog$ ：Coco_T_。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
inline ll SG(ll x,ll y)
{
	if ((x&1) && (y&1)) return 0;
	else if (!(x&1) && !(y&1)) return SG(x>>1,y>>1)+1;
	else if (x&1) return SG((x+1)>>1,y>>1)+1;
	else return SG(x>>1,(y+1)>>1)+1;
}
int main()
{
	int t;read(t);
	while (t--)
	{
		int n;read(n);
		ll ans=0;
		for (int i=1; i<=n; i+=2)
		{
			ll x,y;read(x);read(y);
			ans^=SG(x,y);
		}
		if (ans) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}