[BZOJ 1228] E&D

Link:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1228

Solution：

感觉自己对博弈论的理论一直了解得不够透彻

一篇讲原理的文章：Sprague-Grundy定理是怎么想出来的

现在发现其实可以将SG函数的合成看作为Nim游戏，也顺便能证明其异或运算的正确性了

对于此题，发现每两堆之间明显是独立的，于是只要求出每组的SG值再异或即可

但直接求解SG复杂度过高，于是采取打表找规律的方式

0出现条件： i,j均%2=1

1出现条件： i,j均%4=1或2

2出现条件： i,j均%8=1或2或3或4

 

得到sg(i,j)=k的必要条件：

(i-1)%2^(k+1) < 2^k && (j-1)%2^(k+1) < 2^k

这样便能在O(logS)时间内求出SG函数

Code：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
int t,n,x,y;

int SG()
{
    ll pro=2;
    for(int i=0;;++i,pro<<=1)
        if(((x-1)&(pro-1))<(pro>>1) && ((y-1)&(pro-1))<(pro>>1)) return i;
}

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);int res=0;
        for(int i=1;i<=n/2;i++)
            scanf("%d%d",&x,&y),res^=SG();
        puts(res?"YES":"NO");
    }
}

Review：

1、求解A%2^k的技巧：

      直接求解 A&(2^k - 1) 即可，大大优化常数

2、求解SG函数的一般步骤：

（1） 使用 数组f 将 可改变当前状态的方式 记录下来。（一般SG函数成规律性变化）

（2） 然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

（3） 最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

3、如果求解SG函数复杂度过高，考虑打表找规律的方式