复习---鸽巢原理（一）

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鸽巢原理普通形式

定理：

如果要把n+1个鸽子放进n个笼子里，那么至少有一个笼子里有两个鸽子。

例子：要点是找出或构造出鸽子和笼子

例1：某次会议有n个人，那么至少有两人认识的人数相等

每个人除去自身最多认识n-1个人，这时就不会有人一个人也不认识
于是有两种情况：认识的人数有0，1，2，……，n-2 ；或者1，2，……，n-1；可能认识的人数都只有n-1个（笼子），而一共有n个人（鸽子）所以至少有两个人认识的人数相等

例2：给定5个不同的正整数，其中至少有3个数的和被3除尽。

按除以3的余数讨论：余0，余1，余2，所以五个数中至少有两个数除以3余数相等。
若5个数中有3个数的余数同为0，1，2，则这三个数即为所求
若5个数中有2对数的余数相等（又可分三种情况，请读者自己讨论），从中各取一个，这三个数和一定能被3整除

例3：

$设 a_1 , a_2, ... ,a_m 是正整数的序列，证明则至少存在整数k和l，$

$1≤k≤l≤m，使a_k+a_{k+1}+...+a_l 是m的倍数$

证明思路： $构造s_k=\sum_{i=1}^k{a_i} 的序列。$

$设s_1=a_1;s_2=a_1+a_2;s_3=a_1+a_2+a_3 ..... s_m=a_1+a_2+...+a_m$
①若其中有一个s_n是m的倍数，则得证，即sn ≡ 0 mod m（同余的表达法，除以m余0）
②若在上述序列中没有一个是m的倍数，即sn ≡ rn mod m，其中rn=1，2，3，… ，m-1. 运用鸽巢原理，一共有m个序列（鸽子），除以m的余数rn有m-1个（笼子） 所以至少有两个序列除以m同余，即有sk≡sn mod m，则有 sk-sn ≡ 0 mod m 即：
$S_n - S_k = a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_n ≡ 0 \mod m , 得证！$

  例4：从1~2n个正整数中任取n+1个，证明这n+1个数中至少有一对数，其中一个数是另一个数的倍数

证明： 设所取得n+1个数分别为 $a_1,a_2,a_3,...,a_{n+1},且a_i=2^{k_i}b_i,其中b_i是a_i中去掉因子2所剩的奇数$
$b_i的序列：b_1,b_2,...,b_{n+1} , 共n+1个$
注：若ai是偶数，则bi=1；若ai是奇数，则ki为0，bi为奇数
因为1~2n中只有n个奇数，即bi最多只有n种可能（笼子），bi却有n+1个（鸽子），由鸽巢原理，{bi}中至少有两数相等，
$记a_i=2^{k_i}b_r = a_j = 2^{k_j}b_r,若a_i ＞a_j,则a_i是a_j的倍数，证毕. .................$

例5：

$1和2组成a_1,a_2,...,a_{100}的序列，若有a_i+a_{i+1}+...+a_{i+9}≤16.$ $则至少存在h,k k＞h,使a_n,a_{n+1},...,a_k = 19$
证明：