鸽巢原理 Ramsey数

这个原理听起来会非常简单,但是实际运用却需要极大的构思能量

原理内容:

把n+1个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子内有两个或两个以上物体。

什么当作盒子什么当作物体是关键

例1:
在边长为2的正方形中5个点，至少存在两个点，使得它们之间的距离小于等于$\sqrt{2}$ , 显然成立

例2（经典）:

任意一群人中至少存在两个人，他们在这群人中认识的人数恰好相等。

设任意一群人为n人

1. 当n=2时，显然成立
2. 当n>=3时，设xi表示第i个人的熟人数目（0<=xi<=n-1）
   
   1. 如果每个xi>0，1<=xi<=n-1，但有n个xi，所以成立
   2. 考虑一个xi=0，其他xi有1<=xi<=n-2，n-1个xi，所以成立
   3. 两个xi=0显然成立

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原理形式：

把m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子内至少有$1+[\dfrac{m}{n}]$个物体。

例1：
40个人中至少$1+[\dfrac{40}{12}]$有两个人是同一月出生。

例2：

人数为6的一群人中，一定有三个人彼此认识或彼此不认识。

这群人中任取一个人设为P，则其余5人分成两部分：F和S
F={与P认识的人}，S={与P不认识的人}
F或S中至少有一个至少有3人。不妨设F有3人A,B,C。
A,B,C中分情况讨论

1. 设三人都不认识，满足定义后者
2. 设三人都认识，满足定义前者
3. 不妨A,B认识，和P一起满足前者

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推论：

$m_1,m_2...m_n$为正整数，满足$\dfrac{m_1+m_2+...+m_n}{n}>r-1$，则至少有一个$m>=r$

例1：

将1,2,…,10随机摆成一圈，必有相连的三个数的和至少为17。

所以的三个数的一节的和为$(1+2+...+10)*3=165$

$165/10>17-1$，所以一定有一个节大于等于17

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Ramsey数

Ramsey定理是鸽巢原理的推广，其一般形式很复杂。

R(a,b)表示至少a个人彼此认识或b个人彼此不认识的最少人数

1. 6人群中，一定有至少3个认识或3个彼此不认识
2. 10人群中，一定有至少4个认识或3个彼此不认识

R(a,b)也表示完全图，对任意一条边涂以红色或蓝色，至少有红色a边形或蓝色b边形的最少顶点数

1. 10点完全图，一定有一个红色三角形或蓝色四边形
2. 20点完全图，一定有一个红色四角形或蓝色四边形

R(3,3)<=6 ，R(3,4)<=10 ，R(4,3)<=10 ，R(4,4)<=20

Ramsey数性质

$R(a,b)=R(b,a)$
$R(a,2)=a$
$R(p,q)<=R(p-1,q)+R(p,q-1)$