【概述】

KMP 算法又称 Knuth-Morris-Pratt 字符串匹配算法，是由于 D.E.Knuth、J.H.Morris 和 V.R.Pratt 三人共同研究的，用于解决字符串匹配问题。

其核心思想是利用已经部分匹配的有效信息，来保持文本串指针不回溯，通过修改模式串指针，让模式串尽量地移动到有效的位置，因此，整个 KMP 的重点就在于当模式串中某个字符与文本串不匹配时，如何移动模式串指针。

KMP 算法的主要特点是：

需要对模式字符串做预处理；
预处理阶段需要额外的 O(m) 空间和复杂度；
匹配阶段与字符集的大小无关；
匹配阶段至多执行 2n-1 次字符比较；
对模式中字符的比较顺序时从左到右；

【算法原理】

如下图，以文本 T=ABACBCDHIJK，模式 P=ABAD 为例，前面三个字符是匹配的而 C 与 D 不匹配，可以利用已匹配的信息将模式指针 j 移到第 1 位上（指针从 0 开始），文本指针 i 位置不变

同理，对于下图中的文本 T=ABCABCDHIJK 与模式 P=ABCABB，当 C 与 B 不匹配时，可利用已匹配信息，将模式指针 j 移动到第 2 位上，文本指针 i 位置不变

通过上面两个例子，可以看出，当匹配失败时，文本指针 i 的位置不变，模式指针 j 要移动到位置 k，而位置 k 的性质满足：模式串最前面 k 个字符与 j 之前的最后 k 个字符相同，即： $P[0\sim k-1]=P[i-k\sim j-1]$

当 $T[i]!=P[j]$ 时，有： $T[i-j \sim i-1]=P[0 \sim j-1]$

根据 $P[0\sim k-1]=P[i-k\sim j-1]$

可得： $T[i-k\sim i-1]=P[0\sim k-1]$ ，因此可以判断直接将 j 移动到 k 无须再比较前面的 k 个字符

至此，关键的部分是求得 k，由于在模式 P 的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说需要计算每一个位置 j 对应的 k，故而可以用一个数组 next[] 来保存，即令 next[j]=k 表示当 T[i]!=P[j] 时，j 指针的下一个位置

以下图为例，可以发现，当 j 为 0 时就不匹配，这个时候 j 已经在最左边了，不可能进行移动，需要调整的是将指针 i 后移一位，因此要对 next[] 数组初始化，即 next[0]=-1

再以下图为例，当 j=1 时不匹配，因为他前面只有一个位置，那么显然指针 j 需要移到 0 位置

对比以下两个图，可以发现，当 $P[k]=P[j]$ 时，有 next[j+1]=next[j]+1

证明：

由于 P[j] 之前已经有 $P[0\sim k-1]=P[i-k\sim j-1]$ ，即 $next[j]=k$

这个时候有 P[k]=P[j]，那么可以得到 $P[0 \sim k-1] + P[k] = P[j-k\sim j-1] + P[j]。$

即： $P[0 \sim k] = P[j-k \sim j]$ ，即： $next[j+1] = k + 1$ ，从而有： $next[j+1]=next[j]+1$

而当 $P[k] \:\:!=P[j]$ 时，对比以下两张图，可以发现只要令 k=next[k] 即可

此时，next 数组已经求出，但还存在一个缺陷

以下图为例，显然得到的 next 数组是 {-1,0,0,1}

如下图，当 C 与 B 不匹配时，应将模版指针 j 移动到第一个元素

不难发现，由于后面的 B 已经不匹配了，那么前面的 B 也一定是不匹配的，因此这一步完全没有意义，同理，A 也一样

显然，发生问题的原因在于 P[j]=P[next[j]] ，因此加一个判断条件即可，值得注意的是，何时需要加上此条判断要根据实际情况

【应用】

KMP 算法的核心是求 next 数组，最大的应用除解决字符串匹配问题外，常用 next 数组来求循环节。

在未加判断的 next 数组中，其代表当前字符之前的字符串中，最大前缀与后缀匹配数，即 next[j]=k 代表 j 之前的字符串中有最大长度为 k 的相同前缀后缀。

例如：

i	0	1	2	3	4	5
p[i]	a	b	c	b	a
next[i]	-1	0	0	0	0	1

对于长度为 n 的模式串，由于 next[j]=k 表示 p[1...i-1] 最大前缀与后缀匹配数，那么模式串第 1 位到 next[n] 位与模式串第 n-next[n] 位到第 n 位是匹配的

因此当 next[i]>0 时，i-next[i] 为字符串匹配的时候移动的位数，故而当 n%(n-next[n])=0 时，说明模式串中存在重复连续的子串，其长度为 len=n-next[n]，那么字符串的最小周期 res=n/len=n/(n-next[n])

【算法实现】

1.求 next 数组

1）不加判断版

int next[N];
void getNext(char p[]){
    next[0]=-1;//初始化

    int len=strlen(p);//模式串长度
    int j=0;//模式指针j
    int k=-1;//位置k

    while(j<len) {
        if(k==-1||p[j]==p[k]) {//next[j+1]=next[j]+1
            k++;//此前有next[j]=k
            j++;//指针后移
            next[j]=k;
        }else{
            k=next[k];
        }
    }
}

2）加判断版

int next[N];
void getNext(char p[]){
    next[0]=-1;//初始化

    int len=strlen(p);//模式串长度
    int j=0;//模式指针j
    int k=-1;//位置k

    while(j<len) {
        if(k==-1||p[j]==p[k]) {//next[j+1]=next[j]+1
            k++;//此前有next[j]=k
            j++;//指针后移
            if(p[j]==p[k])//当两个字符相等时跳过
                next[j] = next[k];
            else
                next[j]=k;
        }else{
            k=next[k];
        }
    }
}

2.匹配

int next[N];
int KMP(char t[],char p[]) {
    int tLen=strlen(t);//文本串长度
    int pLen=strlen(p);//模式串长度

    int i=0;//文本串指针
    int j=0;//模式串指针

    getNext();//获取next数组

    while(i<tLen&&j<pLen) {
       if (j==-1||t[i]==p[j]){//当j为-1时，要移动的是i，同样j也要归零
           i++;
           j++;
       }else{
           j=next[j];//j回到指定位置
       }
    }

    if(j==pLen)//最终当模式串的位置与模式串的长度相同时，说明匹配成功
       return i-j;
    else//匹配失败
       return -1;
}

3.求最小循环节长度

int next[N];
void getNext(char p[]){
    next[0]=-1;//初始化

    int len=strlen(p);//模式串长度
    int j=0;//模式指针j
    int k=-1;//位置k

    while(j<len) {
        if(k==-1||p[j]==p[k]) {//next[j+1]=next[j]+1
            k++;//此前有next[j]=k
            j++;//指针后移
            next[j]=k;
        }else{
            k=next[k];
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%s",p)；
    int n=strlen(p);//模式串长度
    getNext();//获取next数组
    
    int len=n-next[n];//与前缀相同的后缀长度
    if(n%len==0){//存在循环节
        int res=n/len;//循环节长度
        printf("%d\n",res);
    }
    else//不存在循环节，长度为1
        printf("1\n");
    return 0;
}

字符串处理 —— 字符串匹配问题 —— KMP 算法