数字矩阵（dp）

Problem Description

bLue 站在了一个 n*m 的填有数字的矩阵中，他可以选择从矩阵的四个顶点之一出发，到达斜对面的顶点。每一步必须向靠近目的地的方向移动，且每次移动都可以累加所在位置上的数字。

例如，bLue 选择从左上角出发，那么目的地为右下角，则他每次只能向右或向下移动一格。

现在他想知道在所有的走法中，能获得的最大累加和是多少。你能帮助他吗？

Input

输入数据有多组（数据组数不超过 50），到 EOF 结束。

对于每组数据：

第 1 行输入 2 个整数 n, m (1 <= n, m <= 100)，表示矩阵的行数和列数。
接下来 n 行，每行包含 m 个用空格隔开的整数 aij (0 <= aij <= 10000)，表示这个数字矩阵。

Output

对于每组数据，输出 1 行，包含 1 个整数，表示 bLue 能获得的最大的累加和。

Sample Input

Sample Output

Hint

Source

【2017年寒假集训分组测试赛2】bLue

题解：我们要从4个角，任意选一个并走到对角线，使得路径权和最大。并且只能向对角线方向移动。

仔细想想，路径a[1][1]->a[n][m]和a[n][m]->a[1][1]是一样的，a[n][1]->a[1][m]和a[1][m]->a[n][1]是一样的。

我们只需求两次dp并取较大值即可。

我们先预处理第一行数据，接着从第二行开始的状态转移方程：

预处理方程1：dp[1][i]=dp[1][i-1]+a[1][i];

方程1（a[1][1]->a[n][m]):

dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[i][j],dp[i][j-1]+a[i][j]);

预处理方程2：dp[1][i]=dp[1][i+1]+a[1][i];

方程2：（a[1][m]->a[n][1]):

dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[i][j],dp[i][j+1]+a[i][j]);

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int dp[111][111];
    int a[111][111];
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                cin>>a[i][j];
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
            dp[1][i]=dp[1][i-1]+a[1][i];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[i][j],dp[i][j-1]+a[i][j]);
            }
        }
        ans=max(ans,dp[n][m]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=m;i>=1;i--)
            dp[1][i]=dp[1][i+1]+a[1][i];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=m;j>=1;j--)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[i][j],dp[i][j+1]+a[i][j]);
            }
        }
        ans=max(ans,dp[n][1]);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}


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User name: ACM18171信科1801张林
Result: Accepted
Take time: 20ms
Take Memory: 284KB
Submit time: 2019-02-23 17:05:35
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