51Nod 1087 1 10 100 1000 思维题

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题目：

https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1087

题意：

1,10,100,1000…组成序列1101001000…，求这个序列的第N位是0还是1。

思路：

把每一个组成序列的数字 $10^x$看成一项，用二分法寻找到第 $m$项：第 $1$项到第 $m$项拼接起来的长度小于等于 $n$。求出第 $1$项到第 $m$项拼成的长度，用 $n$减去这个长度，如果减的结果为 $1$或者 $n$本身为 $1$，那么答案就是 $1$，否则为 $0$。二分的上限是 $10^5$，因为第 $10^5$项拼成的长度肯定大于题目限定的数据范围，故复杂度 $O(log_2^{10^5})$。

更直接更暴力的方法是找规律，看讨论区才知道的：
从第 $1$项拼到第 $m$项得出的长度分别是： $\frac{m(m+1)}{2} = 1,3,6,10,...$
输出 $1$的 $n$分别是 $1,2,4,7,11,...$，全部减去 $1$： $0,1,3,6,10,...$
也就是
$n-1=\frac{m(m+1)}{2}$
判断 $n$是否满足这个一元二次方程就可以了

代码：

Python

def main():
    t = int(input())
    for i in range(t):
        n = int(input())

        ans = -1
        l, r = 0, 100000
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if mid*(mid+1)//2 <= n:
                l = mid + 1
                ans = mid
            else:
                r = mid - 1

        if n == 1 or n - ans*(ans+1)//2 == 1:
            print(1)
        else:
            print(0)


main()

#找规律解法
# import math
# 
# def main():
#     t = int(input())
#     for i in range(t):
#         n = int(input())
#         n = 2 * (n - 1)
#         t = int(math.sqrt(n))
#         if t * (t+1) == n:
#             print(1)
#         else:
#             print(0)
# 
# 
# main()