文章图片代码来自邓俊辉老师的课件
概述
上图就是 B-Tree 的结构，可以看到这棵树和二叉树有点不同---“又矮又肥”。同时子节点可以有若干个小的子节点构成。那么这样一棵树又有什么作用呢？
动机
我们知道电脑的访问内存比访问外的存I/O操作快了，但是内存的容量大小又只有那么一点点（相对于外存），所以计算机访问的过程常常使用高速缓存。使用高速缓存也是在以下两个事实想出的策略。
而B-Tree这种结构就是根据这种情况被发掘出来的。下图 m 指的是每次的数据块数量
B-Tree 介绍
多路平衡
关键码指的是一个超级节点包含的子节点。
B-Tree定义
m阶指的是m路，一个超级节点最大可以分出多少路。二叉树分出两边，左边和右边，就是两路，二阶。
下面是几个定义为不同阶的B-树。
分支数
B-Tree的分支数有个上下限，例如6阶的B-Tree（m=6），又被称为 “(3,6)-树”，类似的还有 “(3,5)-树”，“(2,4)-树”，而(2,4)树就是我们后面要学的红黑树。
最大树高和最小数高
可以看到对于“含N个关键码的m阶B-树”的最大树高和最小树高之间的波动并不大。
代码实现
代码实现主要的两个方法为插入和删除。其中插入的时候需要注意查看某个节点是否超出了阶数，若超出了，需要分裂，最坏的情况就是分裂到根部，而删除操作需要注意查看是否会产生下溢，处理下溢，我们常用的方法就是旋转和合并。
插入
下图分别是分裂和再分裂的图示。 
删除
删除操作的旋转和合并。
旋转可以理解为左右兄弟有足够的节点，向左右兄弟节点借来补充的操作。
假如向兄弟们借都不成功，那就拿父节点的一个元素一起合并，代码实现中有分左合并和右合并。
java版本代码
B-树节点类
package BTree;
import java.util.Vector;
/**
* B-树的节点Bean
* 包含一个有序向量 value 和 指向子节点的 child 向量
*
*/
public class BTreeNode {
BTreeNode parent;
Vector<BTreeNode> child;
Vector<Integer> value;
public BTreeNode(int value, BTreeNode left, BTreeNode right) {
if (this.value == null) {
this.value = new Vector<>();
this.value.sort(new VectorComparable());
}
if (child == null) {
child = new Vector<>();
}
this.value.add(value);
this.child.add(0, left);
this.child.add(1, right);
if (left != null) {
left.parent = this;
}
if (right != null) {
right.parent = this;
}
}
public BTreeNode() {
parent = null;
if (this.value == null) {
this.value = new Vector<>();
this.value.sort(new VectorComparable());
}
if (child == null) {
child = new Vector<>();
}
}
/**
* 一个关键块内的查找 查找到与否都返回一个index
* 返回最靠近的值的原因是为了下面的节点继续查找
*
* @param value 查找的值
* @return 不存在的情况返回最靠近的index 值 ， -1
*/
public int search(int value) {
int hot = -1;
for (int i = 0; i < this.value.size(); i++) {
if (this.value.get(i) > value) {
return hot;
} else if (this.value.get(i) < value) {
hot = i;
} else { // 相等
return i;
}
}
return this.value.size() - 1;
}
public int getIndexInValue(int compare) {
for (int i = 0; i < this.value.size(); i++) {
if (compare == value.get(i)) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 查找当前node在父节点中的index
*
* @return -1 为父类不存在或是父类为null ，其他为当前节点在父节点为位置
*/
public int getIndexFromParent() {
if (parent == null) {
return -1;
}
for (int i = 0; i < parent.child.size(); i++) {
if (parent.child.get(i) == this) {
return i;
}
}
return -1;
}
public void addValue(int index, int val) {
value.add(index, val);
value.sort(new VectorComparable());
}
public void addValue(int val) {
value.add(val);
value.sort(new VectorComparable());
}
}
B-树数据结构方法。
package BTree;
public class BTree {
private BTreeNode root;
private int degree; // m阶B-树 ，阶树至少为3
/*
* 私有方法
*/
/**
* 查找在哪个BTreeNode ,假如到了外部节点，返回该外部节点 返回的结果只有两种 ：
* - 存在，返回该节点
* - 不存在，返回值应该插入的节点
*
* @param val 查找的值
* @return 返回搜索结果，假如该关键块不存在（到达了外部节点）就返回该关键快
*/
private BTreeNode searchSurroundNode(int val) {
BTreeNode node, hot = null;
int rank;
node = root;
while (node != null) {
rank = node.search(val);
if (rank != -1 && node.value.get(rank) == val) { // 找到对应的值
return node;
} else {
hot = node;
if (node.child.get(rank + 1) == null) {
return hot;
}
node = node.child.get(rank + 1);
}
}
// 到了外部节点
return hot;
}
private void addNodeForBtNode(BTreeNode node, int rank, int val) {
node.addValue(val);
if (rank != -1) {
node.child.add(rank + 2, null);
} else {
node.child.add(0, null);
}
}
/*
* 下面为可调用的方法
*/
public BTree(int degree) {
this.degree = degree;
}
/**
* 返回值所在的节点
*
* @param val 插入的值
* @return 找到的话返回节点，找不到返回 null
*/
public BTreeNode search(int val) {
BTreeNode node = searchSurroundNode(val);
if (node.value.get(node.search(val)) == val) { // 该节点存在该值
return node;
}
return null;
}
/**
*
* 插入的值都会进入到底部节点
* @param val 插入的值
* @return 是否插入成功
*/
public boolean insert(int val) {
if (root == null) {
root = new BTreeNode(val, null, null);
return true;
}
//root 已经创建，插入的值最终会到达底部，然后插进去
BTreeNode node = searchSurroundNode(val);
int rank = node.search(val);
if (rank != -1 && node.value.get(rank) == val) { // 该节点存在该值,返回插入失败
return false;
} else { // 值将会插入该关键码
addNodeForBtNode(node, rank, val);
split(node);
return true;
}
}
private void split(BTreeNode node) {
while (node.value.size() >= degree) {
// 1.取中数
int midIndex = node.value.size() / 2;
BTreeNode rightNode = new BTreeNode();
for (int i = midIndex + 1; i < node.value.size(); i++) {
rightNode.addValue(node.value.remove(i));
if (i == midIndex + 1) {
rightNode.child.add(node.child.remove(i));
}
rightNode.child.add(node.child.remove(i));
}
for (BTreeNode rn : rightNode.child) {
if (rn != null) {
rn.parent = rightNode;
}
}
// 移除原节点记得移除对应它的子节点
int insertValue = node.value.remove(midIndex);
if (node.parent != null) { // 存在父节点,把分裂点添加在父节点上
node.parent.addValue(insertValue);
/*
* 对插入的节点的子节点进行处理
* 1.得出插入点的index
* 2.左边子节点连接原node，右节点连接 rightNode
*/
int indexInValue = node.parent.getIndexInValue(insertValue);
node.parent.child.add(indexInValue + 1, rightNode);
rightNode.parent = node.parent;
node = node.parent;
} else { // 不存在父节点，并且当前节点溢出
root = new BTreeNode(insertValue, node, rightNode);
break;
}
}
}
public boolean delete(int val) {
//node 为要删除的val所在的节点
BTreeNode node = search(val);
if (node != null) {
int rank = node.getIndexInValue(val);
// 找到继承结点并代替
if (node.child.get(0) != null) { //非底部节点
BTreeNode bottom = node.child.get(rank + 1);
while (bottom.child.get(0) != null) {
bottom = bottom.child.get(0);
}
node.value.set(rank, bottom.value.get(0));
bottom.value.set(0, val);
node = bottom;
rank = 0;
}
// 此时 node 一定是外部节点了（最底层）
node.value.remove(rank);
node.child.remove(rank + 1);
// 由于删除了某个值，所以需要从兄弟中借一个来拼凑（旋转）
// 当兄弟自己已到达下限，与父类合并成更大的节点，原来父节点所在的节点有可能-1后
// 导致又达到了下限，然后循环
solveUnderflow(node);
return true;
}
return false;
}
/**
* 下溢的节点 ：
* - 外部节点
* - 非外部节点
*
* @param node 下溢的节点
*/
public void solveUnderflow(BTreeNode node) {
//没有达到下溢的条件
int condition = (degree + 1) / 2;
if (node.child.size() >= condition) {
return;
}
BTreeNode parent = node.parent;
if (parent == null) { //到了根节点
if (node.value.size() == 0 && node.child.get(0) != null) {
root = node.child.get(0);
root.parent = null;
node.child.set(0, null);
}
return;
}
int rank = node.getIndexFromParent();
//旋转
if (rank > 0 && parent.child.get(rank - 1).child.size() > condition) { //左旋转，从左兄弟拿一个
BTreeNode ls = parent.child.get(rank - 1);
node.addValue(0, parent.value.remove(rank - 1));
parent.addValue(rank - 1, ls.value.remove(ls.value.size() - 1));
/*
* 被取走的节点可能存在子节点，需要放在新的位置
* 有可能上一次进行合并操作中，父节点的关键码为空了，
* 但是父节点还存在子节点（不为null）
*/
node.child.add(0, ls.child.remove(ls.child.size() - 1));
if (node.child.get(0) != null) {
node.child.get(0).parent = node;
}
return;
} else if (rank < parent.child.size() - 1 && parent.child.get(rank + 1).child.size() > condition) { //右旋转，从右兄弟拿一个
BTreeNode rs = parent.child.get(rank + 1);
node.addValue(parent.value.remove(rank));
parent.addValue(rs.value.remove(0));
node.child.add(node.child.size(), rs.child.remove(0));
if (node.child.lastElement() != null) {
node.child.lastElement().parent = node;
}
return;
}
// 合并
if (rank > 0) { // 左合并
BTreeNode ls = parent.child.get(rank - 1);
//父类节点转入到左节点
ls.addValue(ls.value.size(), parent.value.remove(rank - 1));
parent.child.remove(rank);
//当前节点转入到左节点
ls.child.add(ls.child.size(), node.child.remove(0));
if (ls.child.get(ls.child.size() - 1) != null) {
ls.child.get(ls.child.size() - 1).parent = ls;
}
// 当前节点有可能value为空，但是child不为空。
// value 为空不移动，不为空移动
while (node.value.size() != 0) {
ls.addValue(node.value.remove(0));
ls.child.add(ls.child.size(), node.child.remove(0));
if (ls.child.get(ls.child.size() - 1) != null) {
ls.child.get(ls.child.size() - 1).parent = ls;
}
}
} else { //右合并,有可能 rank = 0
BTreeNode rs = parent.child.get(rank + 1);
//父类节点转入到右节点
rs.addValue(0, parent.value.remove(rank));
//父类节点断开与当前节点的连接
parent.child.remove(rank);
//当前节点转入到右节点
rs.child.add(0, node.child.remove(0));
if (rs.child.get(0) != null) {
rs.child.get(0).parent = rs;
}
while (node.value.size() != 0) {
rs.addValue(0, node.value.remove(0));
rs.child.add(0, node.child.remove(0));
if (rs.child.get(0) != null) {
rs.child.get(0).parent = rs;
}
}
}
solveUnderflow(parent);
}
public int height() {
int h = 1;
BTreeNode node = root;
while (node != null) {
if (node.child.get(0) != null) {
h++;
node = node.child.get(0);
} else {
break;
}
}
return h;
}
}
最后是一个测试的方法。
package BTree;
public class BTreeTest {
public static void main(String[] args) {
BTree tree = new BTree(3);
tree.insert(53);
tree.insert(97);
tree.insert(36);
tree.insert(89);
tree.insert(41);
tree.insert(75);
tree.insert(19);
tree.insert(84);
tree.insert(77);
tree.insert(79);
tree.insert(51);
// System.out.println(tree.height());
// tree.insert(23);
// tree.insert(29);
// tree.insert(45);
// tree.insert(87);
// System.out.println("-------------");
System.out.println("插入节点以后的树的高度 ： "+tree.height());
System.out.println("-------------");
// tree.delete(41);
// tree.delete(75);
// tree.delete(84);
// tree.delete(51);
tree.delete(36);
tree.delete(41);
System.out.println("删除节点以后的树的高度 ： "+tree.height());
}
}
参考资料
- 邓俊辉老师的数据结构课程