凸优化第五章对偶 5.3几何解释

5.3几何解释

1. 对偶函数的解释
2. 上境图

对偶函数的解释

简单考虑只有一个不等式约束

定义

已知对偶函数：

所有对偶函数相当于在G上极小化，得到斜率为的支撑超平面。

下图，t表示，u表示约束函数值

原优化问题在于在约束条件下找到最小的t，G为约束函数值和目标函数值的所有取值的集合，约束函数为，即在坐标轴左侧找最小的t，故找到最优解（如上图）。

上图三条直线则表示三个对应的支撑超平面，与t轴的交点是的取值。

上境图形式

可以将A理解为G的上境图形式，包含了G中所有的点，以及一些较坏的点。

强对偶性成立，当且仅当存在某些对偶可行变量，使得，即对于集合A，存在一个在边界点处有非竖直的支撑超平面。

对于凸问题，A显然也是凸集，对于任意的凸集，其边界点处均有支撑超平面。所以对大部分凸问题，强对偶性总是成立。