凸优化问题，凸二次规划问题QP，凸函数

m i n_{w} f (w)

$min_{ \ w} \ \ f(w)$

s . t . g_{i} (w) \leq 0 (i = 1, . . ., k) (1)

$s.t. \ \ \ g_i(w) \leq 0 \ \ \ \ (i = 1, ... , k) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

h_{j} (w) = 0 (j = 1, . . ., l) (2)

$\ \ \ \ \ \ \ \ h_j(w) = 0 \ \ \ \ (j = 1, ... , l) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

注：

对区间 $[a,b]$ 上定义的函数 f，若它对区间中任意两点 $x1,x2$ 均有：

$f(\frac {x_1+x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

则称f为区间 $[a,b]$ 上的凸函数，这和高数上讲图形的形状时是不同的概念。

形曲线的函数如 $f(x)=x^2$ 就是凸函数。

对实数集上的函数，可通过求解二阶导数来判别：

仿射函数也是凸函数，只是不是严格凸函数。

凸优化问题是特殊的约束最优化问题。其一般形式形式和约束最优化问题一样。

假设f、g、h在定义域内是连续可微的，且目标函数f和不等式约束函数g是凸函数，等式约束h是仿射函数（线性函数），则这种约束最优化问题称为凸优化问题。
因此凸优化问题特征的重要特征：

凸二次规划问题是凸优化问题的一个特殊形式，当目标函数是二次型函数且约束函数 g 是仿射函数时，就变成一个凸二次规划问题。凸二次规划问题的一般形式为:

\begin{matrix} min_{x} & \frac{1}{2} x^{T} Q x + c^{T} x \\ s . t . & W x ⩽ b \end{matrix}

$\begin{matrix} \min_{x} &\frac{1}{2}x^TQx+c^Tx\\ s.t.&Wx \leqslant b \end{matrix}$

若 Q 为半正定矩阵，则上面的目标函数是凸函数，相应的二次规划为凸二次规划问题；此时若约束条件定义的可行域不为空，且目标函数在此可行域有下界，则该问题有全局最小值。
若Q为正定矩阵，则该问题有唯一的全局最小值。
例如，最简单的正定矩阵就是单位矩阵。

凸二次规划问题的特征：

常用的二次规划问题求解方法有：