一、归纳推理：
- 涉及数列类的归纳推理，常常考查二阶等差数列(\(\{a_{n+1}-a_n\}\)为等差数列)和斐波那契数列，
二、类比推理：
元素之间的类比结论：点\(\Rightarrow\)线，线\(\Rightarrow\)面，面\(\Rightarrow\)体，
几何体之间的类比结论：三角形\(\Rightarrow\)四面体，正三角形\(\Rightarrow\)正四面体，内切圆\(\Rightarrow\)内切球，
运算符号之间的类比结论：差\(\Rightarrow\)比，和\(\Rightarrow\)积，积\(\Rightarrow\)乘方，商\(\Rightarrow\)开方，
测度之间的类比结论：长度\(\Rightarrow\)面积，面积\(\Rightarrow\)体积，圆的半径\(\Rightarrow\)椭圆的焦半径，，内切圆(外接圆)面积\(\Rightarrow\)内切球(外接球)体积，
证明方法之间的类比结论：等面积法\(\Rightarrow\)等体积法，
对应数字之间的类比结论：\(2\Rightarrow 3\)，\(3\Rightarrow 4\)，
导数，球的体积的导数为球面积。
一维 二维 三维
- 涉及数列类的类比推理，常常考查等和数列。
三、演绎推理：
四、典例剖析：
观察下列等式：
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}=1-\cfrac{1}{2^2}\)，
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}=1-\cfrac{1}{3\times 2^2}\)，
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{5}{3\times 4}\times \cfrac{1}{2^3}=1-\cfrac{1}{4\times 2^3}\)，
\(\cdots\)，\(\cdots\)，
由以上等式推测到一个一般性的结论为：？
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{5}{3\times 4}\times \cfrac{1}{2^3}+\cdots+\cfrac{n+2}{n\times(n+1)}\times \cfrac{1}{2^n}=1-\cfrac{1}{(n+1)\times 2^n}\)。
观察以下式子：
\(1+\cfrac{1}{2^2}<\cfrac{3}{2}\)；
\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}<\cfrac{5}{3}\)；
\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}<\cfrac{7}{4}\)；
\(\cdots\)，\(\cdots\)，
由以上等式推测到一个一般性的结论为：？
\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}+\cdots+\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{2n-1}{n}(n\ge 2，n\in N^*)\)；
在\(\triangle ABC\)中，不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}\ge \cfrac{9}{\pi}\)成立；
在凸四边形\(ABCD\)中，不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}+\cfrac{1}{D}\ge \cfrac{16}{2\pi}\)成立；
在凸五边形\(ABCDE\)中，不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}+\cfrac{1}{D}+\cfrac{1}{E}\ge \cfrac{25}{3\pi}\)成立；
\(\cdots\)，\(\cdots\)，以此类推，?
在凸\(n\)边形\(A_1A_2A_3\cdots A_n\)中，不等式\(\cfrac{1}{A_1}+\cfrac{1}{A_2}+\cfrac{1}{A_3}+\cdots+\cfrac{1}{A_n}\ge \cfrac{n^2}{(n-2)\pi}(n\ge 3，n\in N^*)\)成立；
某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为\(1，1，2，3，5\)，则预计第10年树的分枝数为
分析：本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”，其构成规律为：\(a_1\)，\(a_2\)已知，其他项由递推公式\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n，n\in N^*\)得到，
故\(a_6=8\)，\(a_7=13\)，\(a_8=21\)，\(a_9=34\)，\(a_{10}=55\)，\(a_{11}=89\)，故选\(D\)。
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有\(1\)个蜂巢，第二个图有\(7\)个蜂巢，第三个图有\(19\)个蜂巢，按此规律，第\(6\)幅图的蜂巢总数为【 】
法1：注意到蜂巢个数所成的数列是二阶等差数列，我们可以这样做：
\(1\stackrel{+6}{\longrightarrow}7\)； \(7\stackrel{+2\times 6}{\longrightarrow}19\)；\(19\stackrel{+3\times 6}{\longrightarrow}37\)；\(37\stackrel{+4\times6}{\longrightarrow}61\)；\(61\stackrel{+5\times6}{\longrightarrow}91\)；\(91\stackrel{+6\times6}{\longrightarrow}127\)；故选\(C\)。
法2：利用二阶等差数列和累加法求解；令蜂巢个数为\(f(n)\)，则\(f(1)=1\)，\(f(2)=7\)，\(f(3)=19\)，\(f(4)=37\)，由于
\(f(2)-f(1)=7-1=1\times 6\)；
\(f(3)-f(2)=19-7=2\times 6\)；
\(f(4)-f(3)=37-19=3\times 6\)；
\(f(5)-f(4)=61-37=4\times 6\)；
$\cdots $，
\(f(n)-f(n-1)=6\times (n-1)\)；
因此，当\(n\ge 2\)时，由累加法可知，
\(f(n)-f(1)=6\times [1+2+3+\cdots+(n-1)]=3n(n-1)\)；
故\(f(n)=3n^2-3n+1\)；
当\(n=1\)时，\(f(1)=1=3\times1^2-3\times1+1\)，符合上式，
故蜂巢个数为\(f(n)=3n^2-3n+1\)，
故可以计算\(f(6)=91\)，当然也可以得到\(f(10)=271\)；
在平面内有\(n(n\in N*，n\ge 3)\)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这\(n\)条直线把平面分成\(f(n)\)个平面区域，求\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；并总结\(f(n)\)的表达式。
解析：由题意知，则\(f(1)=2\)，\(f(2)=4\)，\(f(3)=7\)，\(f(4)=11\)，\(f(5)=16\)，
\(f(2)-f(1)=4-2=2\)；
\(f(3)-f(2)=7-4=3\)；
\(f(4)-f(3)=11-7=4\)；
\(f(5)-f(4)=16-11=5\)；
$\cdots $，
\(f(n)-f(n-1)=n\)；
因此，当\(n\ge 2\)时，由累加法可知，
\(f(n)-f(1)=2+3+\cdots+n=\cfrac{(n+2)(n-1)}{2}\)
即\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)
当\(n=1\)时，\(f(1)=2\)，也满足上式，故
\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)。
将平面内的直角三角形中的结论\(a^2+b^2=c^2\)，类比到空间会得到什么结论？
分析：平面内的直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方，
空间内的直三面角中，三个侧面的面积平方之和为斜底面的面积的平方，
即\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)，
平面内正三角形的内切圆的圆心、外接圆的圆心，是正三角形的内心；在正三角形的高线的靠近底边的三等分点处；
空间内正四面体的内切球的球心、外接球的球心，是正四面体的(类内心)；在正四面体的高线的靠近底面的四等分点处；
注意：等面积法，等体积法；
数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n+a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(n\in N^*)\)，\(a_2=2\)，\(S_n\)试数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，则\(S_{21}\)为【】
分析：由题目可知，数列\(\{a_n\}\)是等和数列，也是周期数列，由\(a_n+a_{n+1}=\cfrac{1}{2}\)得到数列的前\(21\)项如下：
\(-\cfrac{3}{2}，2，-\cfrac{3}{2}，2，-\cfrac{3}{2}，2，\cdots，-\cfrac{3}{2}\)，
则\(S_{21}=10\times (-\cfrac{3}{2}+2)-\cfrac{3}{2}=\cfrac{7}{2}\)。
小结：等和数列大多表现为摆动数列或常数列。
在一个数列\(\{a_n\}\)中，如果\(\forall n\in N^*\)，都有\(a_na_{n+1}a_{n+2}=k(k\)为常数，那么这个数列叫做等积数列，\(k\)叫其公积，已知数列\(\{a_n\}\)是等积数列，且\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，公积为\(8\)，则\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{12}=\)_____________。
分析：由等积数列的定义和已知条件，可以计算得到数列的各项如下，数列为周期数列，周期为\(3\)，一个周期内的三项分别为\(1，2，4\)；
\(-1，2，4，-1，2，4，-1，2，4，\cdots，-1，2，4，\)，
故\(S_{12}=(1+2+4)\times 4=28\)。
- (1)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。
- (2)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2：1：\sqrt{2}\)；
正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2：1：\sqrt{3}\)；
- (3)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}：1：2\)；
正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}：1：3\)；
已知\(x\in (0，+\infty)\)，观察下列各式：(注意，我们有意将其竖行书写)
\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\)；
\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\)；
\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\)；
\(\cdots\)，类比得到
\(x+\cfrac{a}{x^n}\ge n+1\)，则\(a\)=__________。
分析：第一个式子是\(n=1\)的情形，此时\(a=1^1=1\)；
第二个式子是\(n=2\)的情形，此时\(a=2^2=4\)；
第三式子是\(n=3\)的情形，此时\(a=3^3=27\)；
归纳可知， \(a=n^n\)；
延伸阅读：上述表达式其实是均值不等式的拓展情形，
二元均值不等式：\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\times \cfrac{1}{x}}=2\)；
三元均值不等式：\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{\cfrac{x}{2}\times\cfrac{x}{2}\times\cfrac{4}{x^2}}=3\)；
四元均值不等式：\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\sqrt[4]{\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{27}{x^3}}=4\)；
半径为\(r\)的圆的面积\(S=\pi r^2\),周长\(C=2\pi r\)，若将\(r\)看作\((0，+\infty)\)上的变量,则\((\pi r^2)′=2\pi r\)，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；
对于半径为\(R\)的球，若将\(R\)看作\((0，+\infty)\)上的变量，类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).
分析：半径为\(R\)的球体积\(V= \cfrac{4}{3}\pi R^3\)，表面积\(S=4\pi R^2\)，显然$ (\cfrac{4}{3}\pi R^3)′=4\pi R^2$，
即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。