离散数学_构造推理的证明

1、在自然推理系统F中，构造下面推理的证明

不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。

个体域为实数集合。

令 $F(x):x$是无理数 $G(x):x$是有理数 $H(x):x$能表示成分数

命题符号化：

​ 不存在能表示成分数的无理数： $\lnot \exist x (H(x) \wedge F(x))$

​ 有理数都能表示成分数： $\forall x(G(x)\rightarrow H(x))$

​ 有理数都不是无理数： $\forall x(G(x) \rightarrow \lnot F(x))$

证明：

​ （1） $\lnot \exist x (H(x) \wedge F(x))$

​ （2） $\forall x (\lnot H(x) \vee \lnot F(x))$ 量词转换、摩根律

​ （3） $\lnot H(a) \vee \lnot F(a)$ 去掉全称量词

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​ （4） $H(a) \rightarrow \lnot F(a)$

​ （5） $\forall x(G(x)\rightarrow H(x))$

​ （6） $G(a)\rightarrow H(a))$ 去掉全称量词

​ （7） $G(a) \rightarrow \lnot F(a)$ (4)与(6)

​ （8） $\forall x(G(x) \rightarrow \lnot F(x))$ 添加全称量词

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2、在自然推理系统中，构造下面推理的证明

任何自然数都是整数；存在着自然数。所以存在着整数。

令： $F(x):x$是自然数 $G(x):x$是整数

前提： $\forall x(F(x)\rightarrow G(x))$， $\exists x (F(x))$

结论： $\exist x G(x)$

证明：

​ (1) $\exists x (F(x))$ 前提引入

​ (2) $F(a)$ 去存在量词

​ (3) $\forall x(F(x)\rightarrow G(x))$ 前提引入

​ (4) $F(a)\rightarrow G(a)$ 去全称量词

​ (5) $G(a)$ (2)(4)假言推理

​ (6) $\exist x G(x)$ 添加全称量词

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3、如果你给我发了一封电子邮件，那么我将完成程序的编写。如果你没有给我发电子邮件，那么我会早点睡觉。如果我早点入睡， 然后我会醒来感觉神清气爽。结论:如果我没有完成程序的编写，那么我会觉得神清气爽

令：

$p:$你给我发了一封电子邮件

$q:$我将完成程序的编写

$r:$我会早点睡觉

$s:$我会神清气爽

前提：

​ $p \rightarrow q$

​ $\lnot p \rightarrow r$

​ $r \rightarrow s$

结论：

​ $\lnot q \rightarrow s$

证明：

1、 $\lnot p \rightarrow r$	前提引入
2、 $p \vee r$	1的蕴涵等值式
3、 $p \rightarrow q$	前提引入
4、 $r \rightarrow s$	前提引入
5、 $q \vee s$	3、4、5的构造性二难
6、 $\lnot q \rightarrow s$	5的蕴涵等值式