使用组合推理论证方法证明范德蒙(Vandermonde)卷积公式
是一个比较有意思的关于二项式系数的恒等式.
范德蒙卷积公式：
对于所有的正整数\(m_1,m_2,n\)，有
\[\sum_{k = 0}^n\dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n - k} = \dbinom{m_1+m_2}{n}\]
首先考虑\(\dbinom{m_1+m_2}{n}\)的组合意义：
大小为\(|m_1 + m_2|\)的集合中选择大小为\(|n|\)的集合的个数.
我们将其中\(m_1\)个元素涂上A颜色,剩下的元素涂上B颜色.(A集合包含了所有颜色为A的元素,B集合同理)
然后将\(|n|\)子集分为n+1类
\(|C_0| , |C_1| , |C_2|...|C_n|\)
\(C_k\)表示k个A颜色,n - k个B颜色的\(|n|\)子集个数.
那么就有
\[\dbinom{m_1+m_2}{n} = \sum_{i = 0}^n{|C_i|}\]
考虑如何计算\(C_k\).
因为有K个A颜色,n - k个B颜色，所以相当于,从A集合中选择K个元素,从B集合选择n - k个元素
所以就有\(|C_k| = \dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n - k}\)
带入到上面的式子就成为
\[\dbinom{m_1+m_2}{n} = \sum_{i = 0}^n{\dbinom{m_1}{i}\dbinom{m_2}{n - i}}\]
找了很久的题目：只找到了一道bzoj 4830
还有代数证明，以及几何证明，英文不太好，所以不会证明，放上wiki的链接：
wiki-代数证明
wiki-几何证明