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前言
此处为在下平时代数的公式与证明方法的积累之处，便于需要之时快速查询，以及方便各位高人。
正文
1.\(\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
证明：
法一：构造等差数列
注意到\(n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n(n-1)=3n^2-3n+1\),而一次的等差数列我们又很好求，于是考虑以此等差,把\(1-i\)带入该式，并为了方便设\(S=\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\),于是有：
\[1^3-0^3=3\times1^2-3\times 1+1\]
\[2^3-1^3=3\times2^2-3\times 2+1\]
\[3^3-2^3=3\times3^3-3\times 3+1\]
\[.\]
\[.\]
\[.\]
\[n^3-(n-1)^3=3\times n^3-3\times n+1\]
累加即有
\[n^3=3S-3\frac{n(n+1)}{2}+n\]
\[3S=n^3+3\frac{n(n+1)}{2}-n\]
\[S=\frac{n^3-n}{3}+\frac{n(n+1)}{2}\]
\[S=\frac{2(n^3-n)+3n(n+1)}{6}\]
\[S=\frac{2n^3+2n^2+n}{6}\]
\[S=n\frac{2n^2+2n+1}{6}\]
\[S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
故得证。
法二：几何巧妙构造代数情景
设\(S=\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\)
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
. . . . .
n n n n n n已知答案即为该图形中所有数字之和，再将之分别顺时针旋转\(60^o,120^o\),有：
n
n .
n . 4
n . 4 3
n . 4 3 2
n . 4 3 2 1和
n
. n
4 . n
3 4 . n
2 3 4 . n
1 2 3 4 . n不难得知每个格子的对应数字之和为\(2n+1\),所以:
\[3S=(2n+1)\frac{n(n+1)}{2}\]
\[S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
故得证。
2.\(\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\)
证明：
数列问题，考虑扩大做差，设\(S=\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n\),于是有
\[aS=a^2+a^3+...+a^{n+1}\]
两式相减，有
\[S(a-1)=a^{n+1}-a\]
\[S=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}\]
故得证。