各种证明

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不定期咕咕咕

n div i有2√n个取值

https://blog.csdn.net/gmh77/article/details/88142031
显然n div i最多只有2√n个取值，则s和g最多只有2√n个取值
对于≤√n的数可以直接存，处理也很方便，对于>√n的可以用n div x来存

n div a div b=n div (a*b)

来自https://blog.csdn.net/semiwaker/article/details/73822107

n div (n div x)=x (x≤√n)

设 $n=ax+b（0≤b<x）$
$\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor} \right \rfloor=x$
$\left \lfloor \frac{ax+b}{\left \lfloor \frac{ax+b}{x} \right \rfloor} \right \rfloor=x$
$\left \lfloor \frac{ax+b}{a} \right \rfloor=x$
$\left \lfloor x+\frac{b}{a} \right \rfloor=x$
如果 $\frac{b}{a}<1$那么结论就可以成立
即 $a>b$
因为 $n=ax+b$
所以 $a=\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor$， $b=n\;mod\;x$
因为 $x \leqslant sqrt(n)$，所以 $\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor \geqslant sqrt(n)$，即 $a\geqslant sqrt(n)$
因为 $b=n\;mod\;x$，所以 $b<x$，即 $b<sqrt(n)$
所以 $a\geqslant sqrt(n)>b$，即当 $x \leqslant sqrt(n)$时原式成立

平方求和公式

不是求平方和
求 $\sum_{i=1}^{n}{i^2}$
根据高斯求和公式， $\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}(i+n)(n-i+1)}$（i²=i*i，i出现了i次）
$=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{n^2-i^2+i+n}$
$=\frac{1}{2}(n^2(n+1)+\frac{1}{2}(1+n)n-\sum_{i=1}^{n}{i^2})$
$=\frac{1}{2}(n(n+1)(n+\frac{1}{2})-\sum_{i=1}^{n}{i^2})$
联立求解
$\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{1}{2}(n(n+1)(n+\frac{1}{2})-\sum_{i=1}^{n}{i^2})$
$2\sum_{i=1}^{n}{i^2}=n(n+1)(n+\frac{1}{2})-\sum_{i=1}^{n}{i^2}$
$3\sum_{i=1}^{n}{i^2}=n(n+1)(n+\frac{1}{2})$
$\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(n+\frac{1}{2})}{3}$
$\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$