51Nod_1035 最长的循环节【数论】

                                           51Nod_1035 最长的循环节

                                           http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1035

题目

正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。1/6= 0.1(6) 循环节长度为1；1/7= 0.(142857) 循环节长度为6；1/9= 0.(1)  循环节长度为1

输入

输入n（10 <= n <= 1000)

输出

输出<=n的数中倒数循环节长度最长的那个数

样例输入

10

样例输出

7

分析

定理：如果 1 <= b < a ，a没有2或5的质因数，且a,b互质，那么b/a的循环节数恰好等于 min{e∈N ： 10^e ≡ 1(mod a) }。现在b为1，去除a中2和5的质因数后找出最小的e值使得 10^e ≡ 1(mod a) 成立即可。

C++程序

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std; 

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	int ans=1,len=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int x=i,cnt=0,tmp=1;
		while(x%2==0)
		  x/=2;
		while(x%5==0)
		  x/=5;
		if(x!=1)
		  do{
		  	cnt++;
			tmp=tmp*10%x; 
		  }while(tmp!=1);
		if(cnt>len){
			ans=i;
			len=cnt;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}