详解博弈论的一类问题——Nim游戏

先来一道例题：

甲，乙两个人玩 $Nim$取石子游戏。
$nim$游戏的规则是这样的：地上有 $n$堆石子，每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这 $n$堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

这道题有一个神奇的结论：当 $n$堆石子的数量异或和等于 $0$时，先手必胜，否则先手必败。

看网上大部分对于这个结论中异或的出现解释的都不是很清楚，这里想结合自己的想法谈一下这类问题的解法。

一、了解定义

我们要知道博弈问题通常有的两种状态：必胜态和必败态。

所谓必胜态，就是在当前的局面下，先手必胜

必败态，就是在当前的局面下，先手必败。

那么，这个游戏的必败态我们显然知道，就是所有石子堆都为 $0$时。

二、从简单入手

我们可以用一个 $n$元组（ $a_1, a_2, …, a_n$）来表示每一个局面，

例如， $(3,3,1)$表示一共三堆石子，第一二堆有三个，第三堆有一个。

显然 $(3,3,1)$和 $(1,3,3)$是同一种局面，即交换每堆顺序不影响答案。

如果初始局面只有一堆石子，则甲有必胜策略。

 甲可以一次把这一堆石子全部取完，这样乙就无石子可取了。

如果初始局面有两堆石子，而且这两堆石子的数目相等，则乙有必胜策略。

 因为有两堆石子，所以甲无法一次取完；
 如果甲在一堆中取若干石子，乙便在另一堆中取同样数目的石子；
 根据对称性，在甲取了石子之后，乙总有石子可取；
 石子总数一直在减少，最后必定是甲无石子可取。

对于初始局面(1)，甲有必胜策略，而初始局面(3, 3)，乙有必胜策略。

局面的加法: $(a_1, a_2, …, a_n) + (b_1, b_2, …, b_m) = (a_1, a_2, …, a_n, b_1, b_2, …, b_m)$

所以 $(3) + (3) + (1) = (3, 3) + (1) = (3, 3, 1)$。

对于局面 $A, B, S$，若 $S=A+B$，则称局面 $S$可以分解为“子局面” $A$和 $B$。
局面 $(3, 3, 1)$可以分解为 $(3, 3)$和 $(1)$。

如果初始局面可以分成两个相同的“子局面”，则乙有必胜策略。

 设初始局面 $S=A+A$，想象有两个桌子，每个桌子上放一个 $A$局面；
 若甲在一个桌子中取石子，则乙在另一个桌子中对称的取石子；
 根据对称性，在甲取了石子之后，乙总有石子可取；
 石子总数一直在减少，最后必定是甲无石子可取。

对于局面S，若先行者有必胜策略，则称“S胜”。
对于局面S，若后行者有必胜策略，则称“S负”。
若 $A=(1)$， $B=(3, 3)$， $C=(2, 2, 5, 5, 5, 5, 7, 7)$，则 $A$胜， $B$负， $C$负。
我们要做的，就是如何判断局面的胜负。

 如果局面 $S$胜，则必存在取子的方法 $S→T$，且 $T$负。
 如果局面 $S$负，则对于任意取子方法 $S→T$，有 $T$胜。

设初始局面 $S$可以分解成两个子局面 $A$和 $B$（分解理论）。

若A和B一胜一负，则S胜。

 不妨设 $A$胜 $B$负；
 想象有两个桌子 $A$和 $B$，桌子上分别放着 $A$局面和 $B$局面；
 因为 $A$胜，所以甲可以保证取桌子 $A$上的最后一个石子；
 与此同时，甲还可以保证在桌子 $B$中走第一步的是乙；
 因为 $B$负，所以甲还可以保证取桌子 $B$中的最后一个石子；
 综上，甲可以保证两个桌子上的最后一个石子都由自己取得。

若A负B负，则S负。

 无论甲先从 $A$中取，还是先从 $B$中取，都会变成一胜一负的局面；
 因此，乙面临的局面总是“胜”局面，故甲面临的 $S$是“负”局面。

即：若 $B$负，则 $S$的胜负情况与 $A$的胜负情况相同。

若A胜B胜，则有时S胜，有时S负。

 如果 $S=A+C+C$，则S的胜负情况与A相同。
 令 $B=C+C$，则 $S=A+B$且 $B$负，故 $S$的胜负情况与 $A$相同。

初始局面 $(3, 3, 1) = (3) + (3) + (1)$，与局面 $(1)$的胜负情况相同。
初始局面 $(3, 3, 1)$是“胜”局面，甲有必胜策略。

如果局面 $S$中，存在两堆石子，它们的数目相等，
那么这堆石子可以被拿掉，且新局面与原来局面的胜负相同。

这叫做局面的简化，当一个局面不能被简化后，这个局面就被称做最简局面。

最简局面中不会有两堆相同的石子，故可以用一个集合来表示最简局面

如果只关心局面的胜负，则一个局面可以用一个集合来描述，而这正是我们需要的。
如：局面 $(3, 3, 1)$，可以用集合 $\{1\}$来描述。

三、类比与联想

设大写字母 $AB$表示局面，小写字母 $ab$表示二进制

若 $A$和 $B$相同，则 $A+B$负 $→$ 若 $a$和 $b$相等，则 $a+b=0$
若 $A$胜 $B$负，则 $A+B$胜 $→$ 若 $a=1$且 $b=0$，则 $a+b=1$
若 $B$胜 $A$负，则 $A+B$胜 $→$ 若 $b=1$且 $a=0$，则 $a+b=1$
若 $A$负 $B$负，则 $A+B$负 $→$ 若 $a=0$且 $b=0$，则 $a+b=0$

有没有发现什么?

若 $a$和 $b$相等，则 $a$^ $b=0$
若 $a=1$且 $b=0$，则 $a$^ $b=1$
若 $b=1$且 $a=0$，则 $a$^ $b=1$
若 $a=0$且 $b=0$，则 $a$^ $b=0$

局面的加法与异或运算的性质完全相同。

能否用一个二进制数，来表示一个局面呢？

用符号# $S$，表示局面 $S$所对应的二进制数。
如果局面 $S$只有一堆石子，则用这一堆石子数目所对应的二进制数来表示# $S$。
# $(5)=5=101$。

若局面 $S=A+B$，则# $S=$# $A+$# $B$。
局面 $(3, 3)=(3)+(3)$，所以# $(3, 3)=$# $(3)+$# $(3)=11+11=0$。
局面 $(3, 3, 1)=(3, 3)+(1)$，所以# $(3, 3, 1)=$# $(3, 3)+$# $(1)=0+1=1$。

注：如果这里不理解，把‘+’换成‘^’再试一下

四、证明

对于局面S，若#S=0，则S负；若#S≠0，则S胜。
证出这个，就相当于我们得到结论了。

如果局面加法（异或和）的最高位为 $i$，则有一堆石子第 $i$位为 $1$
设 $A$就为那堆石子，其他堆石子局面（异或和）设为 $s$，总局面（异或和）设为 $S$，
则# $A+$# $s=$# $S$，如果让# $A$等于# $A$+# $S$，那么后手面对的则是# $A$+# $S$+# $s=0$，
或者说 $A$ ^ $s=S$，如果让 $A$等于 $A$ ^ $S$，那么后手面对的则是 $A$ ^ $S$ ^ $s=0$，

若#S=0，则无论先行者如何取子S $→$T，都有#T≠0。
若#S≠0，则先行者必然存在一种取子方法S $→$T，且#T=0

想必说到这里，大家应该都懂了，
这句话与若#S=0，则S负；若#S≠0，则S胜。 是等价的。

五、推广

甲乙双方事先约定一个数m，并且每次取石子的数目不能超过m个，其余规则同刚开始的例题。

这两个题目解法其实是非常相近的，
结论是：若所有石子模 $m$的异或和不为 $0$，则先手胜，反之则后手胜 （读者自证不难）

其实，这一类问题，都有一个通常的解法，让我们回想一下，我们解决第一个问题是都干了什么

用一个 $n$元组 $(a_1, a_2, …, a_n)$，来描述游戏过程中的一个局面。
用符号# $S$，表示局面 $S$所对应的二进制数。
定义如果局面 $S$只有一堆石子，则用这一堆石子数目所对应的二进制数来表示# $S$
设局面 $S=(a_1, a_2, …, a_n)$，# $S=$# $a_1$+# $a_2$+…+# $a_n$，采用异或操作。

但是这里的# $a_i$并不是一直都等于本身的二进制数的，而是应该换作一个函数，这个函数，根据题目的不同而有所不同。

这，就是 $SG$函数

通常解法：
首先，把原局面分解成多个独立的子局面，则原游戏的 $SG$函数值是它的所有子局面的 $SG$函数值的异或和。

即 $SG(S)=SG(s_1)$ ^ $SG(s_2)$ ^ … ^ $SG(s_n)$。

然后，分别考虑每一个子局面，计算其 $SG$值。

后手必胜当且仅当SG的异或和为0

文章就到这里，希望能帮到你。

博弈问题其实种类不多，做多了就惯了。

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·参考文章：博弈，由感性认识到理性认识——张一飞