物理复习3电磁学

电磁学

电容串并联计算（下册P61_10-19）

• $Q=CU$
• 并联电容的等效电容： $C=C_1+C_2$
• 串联电容的等效电容： $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$
• 电容器的决定式： $C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_rS}{d}=\frac{\varepsilon S}{d}$
• 真空电容率： $\varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}$
  $C=\frac{\varepsilon_rS}{4\pi kd}$

1. 习题10-19

$C_{AC}=12\mu {\rm F}, C_{CD}=8\mu {\rm F}, C_{DB}=24\mu {\rm F}$
$\frac{1}{C_{AB}}=\frac{1}{C_{AC}}+\frac{1}{C_{CD}}+\frac{1}{C_{DB}}=\frac{1}{4}\mu {\rm F}^{-1}$
$C_{AB}=4\mu {\rm F}$
$Q=CU=48\mu C$
$U_{AC}=\frac{Q}{C_{AC}}=4V$
$U_{CD}=\frac{Q}{C_{CD}}=6V$
$U_{DB}=\frac{Q}{C_{DB}}=2V$

静电平衡导体的电荷分布

• 静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面，导体内没有净电荷
• 在导体的外表面： $\oint_s\vec E\cdot{\rm d}\vec S=E\Delta S=\frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}\rightarrow E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
  导体外表面电场强度于该处电荷面密度成正比

毕奥-萨伐尔定律计算一根弯曲形状导线的磁场（下册P107_11-11）

• 运动电荷所受磁场力： $\vec F=q\vec v\times\vec B$
• 毕奥-萨伐尔定律： $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I{\rm d}\vec I\times\vec{e_r}}{r^2}\rightarrow \vec B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{{\rm d}\vec l\times\vec e_r}{r^2}$

1. 长直道线：将自变量都换为角度

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{{\rm d}z\sin\theta}{r^2}$
${\rm d}z=-{\rm d}r_0\cot\theta=\frac{r_0}{\sin^2\theta}{\rm d}\theta$
$r^2=\frac{r_0^2}{\sin^2\theta}$
$\therefore B=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}\int\sin\theta{\rm d}\theta$
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$

1. 当为无限长直导线时， $B=\frac{\mu _0I}{2\pi r_0}$
2. 当为无限长直导线的一半时， $B=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}$

2. 圆形导线：将自变量都换为距离圆心的长度x

${\rm d}\vec B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{{\rm d}\vec l\times \vec e_r}{r^2}$
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\int_l{\rm d}l\cos\alpha$
$B=\frac{\mu_0IR}{4\pi r^3}\int_0^{2\pi R}{\rm d}l$
$B=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

1. 处于圆环中心处的磁感应强度： $B=\frac{\mu_0I}{2R}$
2. 距离圆环无限远处的磁感应强度： $B=\frac{\mu_0IR^2}{2x^3}$

3. 习题11-11

(a) 四分之一圆环： $B=\frac{\mu_0I}{8R}$
(b) 一个圆环和一根无限长直导线，方向相反： $B=\frac{\mu_0I}{2R}-\frac{\mu _0I}{2\pi R}$
© 一根无限长直导线和半个圆环，方向相同： $B=\frac{\mu_0I}{4R}+\frac{\mu _0I}{2\pi R}$

磁通量的计算（下册P106_11-2）

• 磁通量： $\Phi=\vec B\cdot\vec S=BS\cos\theta$
• 磁场的高斯定理：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零： $\oint_s\vec B\cdot{\rm d}\vec S=0$

1. 习题11-2

$\because$ 闭合曲面的磁通量必等于零
$\therefore$ 计算通过半球面进入曲面的磁通量，即为计算通过底面圆穿出曲面的磁通量
$\therefore \Phi=\vec B\times\vec S=\pi r^2B\cos\alpha$

安培环路定理计算磁场分布（下册P81_例题2）

• 安培环路定理：在恒定磁场中，磁感强度B眼闭合路径的线积分，等于此闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积： $\oint_l\vec B\times{\rm d}\vec l=\mu_0\sum_{i=1}^nI_i$。
• 闭合路径内没有包围电流，或者所包围电流的代数和等于零，总有 $\oint_l\vec B\times{\rm d}\vec l=0$，但是，应当注意，B的环流为零一般并不意味着闭合路径上的各点的磁感强度都为零。

1. 例题2 无限长载流圆柱体的磁场

在圆柱体外
$\oint_l\vec B\times{\rm d}\vec l=\mu_0I$
$B\int_0^{2\pi r}{\rm d}l=\mu_0I$
$B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
在圆柱体内
$B\int_0^{2\pi r}{\rm d}l=\mu_0I\frac{r^2}{R^2}$
$B=\frac{\mu_0I\frac{r^2}{R^2}}{2\pi r}$
$B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}$

带电粒子的磁场中的运动，回旋半径和回旋周期

• 由牛顿第二定律： $qv_0B=m\frac{v_0^2}{R}$
• 回旋半径： $R=\frac{mv_0}{qB}$
• 回旋周期： $T=\frac{2\pi R}{v_0}=\frac{2\pi m}{qB}$

电磁感应定律和楞次定律（下册P143_12-1）

• 电磁感应定律：当穿过闭合回路所围面的磁通量发生变化时，回路中会建立起感应电动势，此感应电动势正比与磁通量对时间变化率的负值： $E_i=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}$
• 楞次定律：闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因，即：来拒去留

1. 习题12-1

无限长直导线电流产生的磁场在矩形线圈内方向垂直向内，矩形线框远离导线运动，导致矩形线圈内磁感线减少，故由楞次定律可知，矩形线圈产生的感应电流所激发的磁场方向同直导线电流产生的磁场方向相同，即垂直向内，根据右手定则，可判断矩形线圈内的电流方向为顺时针方向。

静电场能量

• 静电场能量： $W_e=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2=\frac{1}{2}\varepsilon E^2Sd$
• 静电场能量密度： $w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$