电磁学乱七八糟的符号(五)

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author:何伟宝

本来已经是不打算更得了,没想到到了最后还有一个重要的知识面没涵盖到,那就写一下吧

电磁学乱七八糟的符号(五)
一般传输线方程

一般传输线方程

这一次需要被建模的类型是平行双导线,数学建模后是长这个样子的:

由于直接从麦克斯韦方程式不好起手,所以这里注重求电压电流的解和关系

分布参量

长短线

为了便于分析,定义 $\frac {l}{\lambda}$ 为传输线的电长度,并且定义长短线:

低 频 电 路 ⟷ \frac{l}{λ} < 1 ⟷ 短 线

$低频电路\longleftrightarrow \frac {l}{\lambda}<1 \longleftrightarrow 短线$

高 频 电 路 ⟷ \frac{l}{λ} > 1 ⟷ 长 线

$高频电路\longleftrightarrow \frac {l}{\lambda}>1 \longleftrightarrow 长线$

分布参量

如上图的一些电阻电容电感电导,由下表给出:

	平行双导线	同轴导线
分布电容 $C_0(F/m)$	$\frac {\pi\varepsilon}{ln\frac{2D}d}$	$\frac {2\pi\varepsilon}{ln\frac{b}a}$
分布电感 $L_0(H/m)$	$\frac{\mu}{\pi}ln\frac{2D}d$	$\frac{\mu}{2\pi}ln\frac{b}a$
分布电阻 $R_0(\Omega/m)$	$\frac2{\pi d}\sqrt{\frac{\omega \mu_c}{2\sigma_c}}$	$\frac1{\pi}\sqrt{\frac{\omega \mu_c}{2\sigma_c}}(\frac1b +\frac 1a)$
分布电导 $G_0(S/m)$	$\frac {\pi\sigma}{ln\frac{2D}d}$	$\frac {2\pi\sigma}{ln\frac{b}a}$

但是题目一般会给出,所以就不多说了,重点是单位!如果题目给出总的,一点要记得除以长度

稳态解

忙于复习,就直接上结论了

电报方程/电报方程

\frac{d U (z)}{d z} = Z_{0} I (z)

$\frac {dU(z)}{dz}=Z_0I(z)$

\frac{d U (z)}{d z} = Y_{0} I (z)

$\frac {dU(z)}{dz}=Y_0I(z)$

串联阻抗和并联导纳

由上式定义了:

Z_{0} = R_{0} + j ω L_{0}, Y_{0} = G_{0} + j ω C_{0}

$Z_0=R_0+j\omega L_0 \quad ,\quad Y_0=G_0+j\omega C_0$

波动方程

同样地做分离U,I两个变量得:

\frac{d^{2} U (z)}{d z^{2}} - γ^{2} U (z) = 0

$\frac {d^2U(z)}{dz^2}-\gamma^2U(z)=0$

\frac{d^{2} I (z)}{d z^{2}} - γ^{2} I (z) = 0

$\frac {d^2I(z)}{dz^2}-\gamma^2I(z)=0$
所以可以很容易得求得通解:

U (z) = A e^{γ z} + B e^{- γ z}

$U(z)=Ae^{\gamma z}+Be^{-\gamma z}$
回代到电压的一阶微分式有:

I (z) = \frac{1}{Z_{0}} \frac{d U (z)}{d z} = \frac{1}{Z_{c}} (A e^{γ z} + B e^{- γ z})

$I(z)=\frac1{Z_0}\frac{dU(z)}{dz}=\frac1{Z_c}(Ae^{\gamma z}+Be^{-\gamma z})$

特征阻抗 $Z_c$

可以看出,特征阻抗是描述传输线上电压电流转换关系的,而且有:

Z_{c} = \sqrt{\frac{Z_{0}}{Y_{0}}} = \sqrt{\frac{R_{0} + j ω L_{0}}{G_{0} + j ω C_{0}}}

$Z_c=\sqrt{\frac{Z_0}{Y_0}}=\sqrt{\frac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}}$
所以这里的特征阻抗和前面说的 波阻抗有点像.

传播常数 $\gamma$ &&衰减常数&&相位常数

又是熟悉的字母,又是熟悉的定义:

γ = \sqrt{Z_{0} Y_{0}} = \sqrt{(R_{0} + j ω L_{0}) (G_{0} + j ω C_{0})} = α + j β

$\gamma=\sqrt{Z_0Y_0}=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}=\alpha + j \beta$

γ

$\gamma$ 称为传输线上电压波和电流波的传播常数 ,

α

$\alpha$ 为衰减常数 ,

β

$\beta$ 为相位常数

任意点电压电流

对一般传输线:

U (z) = \frac{U_{0} + I_{0} Z_{c}}{2} e^{γ z} + \frac{U_{0} - I_{0} Z_{c}}{2} e^{- γ z}

$U(z)=\frac{U_0+I_0 Z_c}2 e^{\gamma z}+\frac{U_0-I_0 Z_c}2 e^{-\gamma z}$

U (z) = \frac{1}{Z_{c}} (\frac{U_{0} + I_{0} Z_{c}}{2} e^{γ z} - \frac{U_{0} - I_{0} Z_{c}}{2} e^{- γ z})

$U(z)=\frac1{Z_c}(\frac{U_0+I_0 Z_c}2 e^{\gamma z}-\frac{U_0-I_0 Z_c}2 e^{-\gamma z})$
对无损耗传输线,有

γ = j β

$\gamma=j\beta$ ,( 划重点)

U (z) = U_{0} c o s β z + j I_{0} Z_{c} s i n β z

$U(z)=U_0cos\beta z+jI_0Z_c sin\beta z$

U (z) = I_{0} c o s β z + j \frac{U_{0}}{Z_{c}} s i n β z

$U(z)=I_0cos\beta z+j\frac{U_0}{Z_c} sin\beta z$

传输特性

由于某些原因,这里可能偏向无损耗传输线,也就是 $R_0=0 \quad,\quad G_0=0$

特性阻抗

在无损耗传输线中:

Z_{c} = \sqrt{\frac{L_{0}}{C_{0}}}

$Z_c=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$

传播常数

在无损耗传输线中:

γ = j β, α = 0, β = ω \sqrt{L_{0} C_{0}}

$\gamma=j\beta \quad,\quad \alpha=0 \quad,\quad \beta=\omega\sqrt{L_0 C_0}$

相速与波长

参考前面的定义,可以定义传输波的相速为:

v_{p} = \frac{ω}{β} = \frac{1}{\sqrt{L_{0} C_{0}}}

$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac1{\sqrt{L_0 C_0}}$
同理定义波长:

λ = \frac{2 π}{β}

$\lambda=\frac{2\pi}{\beta}$

工作状态

输入阻抗

从图形上看,无损耗传输线,输入阻抗是这样的:
z_in
注意这里的起点不一定是z=0,可以是任意点往负载方向看的阻抗,所以由前面的公式可以知道:

Z_{i n} (z) = \frac{U (z)}{I (z)} = Z_{c} \frac{Z_{L} + j Z_{c} t a n β z}{Z_{c} + j Z_{L} t a n β z}

$Z_{in}(z)=\frac{U(z)}{I(z)}=Z_c\frac{Z_L+jZ_ctan\beta z}{Z_c+jZ_Ltan\beta z}$

特别地(习题结论),
考虑传播线开路,即 $Z_L\rightarrow\infty$ 时:
对公式中的分式 $Z_L$ 作洛必达法则,可得到开路输入阻抗 $Z_{ino}$ :

\begin{matrix} (1.1) & Z_{i n o} = - j Z_{c} c o t β z \end{matrix}

$Z_{ino}=-jZ_c cot\beta z \tag{1.1}$
同理考虑传播线开路,即

Z_{L} \to 0

$Z_L\rightarrow 0$ 时:
代入原公式得短路输入阻抗

Z_{i n s}

$Z_{ins}$ :

\begin{matrix} (1.2) & Z_{i n s} = j Z_{c} t a n β z \end{matrix}

$Z_{ins}=jZ_c tan\beta z \tag{1.2}$

(1.1)*(1.2)得:

Z_{c} = \sqrt{Z_{i n o} Z_{i n s}}

$Z_c=\sqrt{Z_{ino}Z_{ins}}$
(1.1)/(1.2)得:

β = \frac{1}{z} a r c t a n \sqrt{\frac{Z_{i n s}}{Z_{i n o}}}

$\beta=\frac1z arctan\sqrt{\frac{Z_{ins}} {Z_{ino}}}$

反射系数

描述的就好像是,以某一点的一个电压波为基准,
然后那个电压波通过传输先跑到了对面,对原来的电压波的影响:
自然地,电压波跑过的路程是2z,所以有:

Γ (z) = Γ_{0} e^{- 2 j β z} Γ_{0} = | Γ_{0} | e^{j φ_{0}}

$\Gamma(z)=\Gamma_0 e^{-2j\beta z}\quad \quad \Gamma_0=|\Gamma_0| e^{j\varphi_0}$
其中

Γ_{0}

$\Gamma_0$ 称为传输线的终端电压反射系数

φ

$\varphi$ 是辅角,对 无损耗传输线来说,

| Γ (z) | = | Γ_{0} |

$|\Gamma(z)|=|\Gamma_0|$

驻波系数&&行波系数

驻波系数:

ρ = \frac{| U (z) |_{m a x}}{| U (z) |_{m i n}}

$\rho=\frac{|U(z)|_{max}}{|U(z)|_{min}}$
行波系数:

K = \frac{1}{ρ} = \frac{| U (z) |_{m i n}}{| U (z) |_{m a x}}

$K=\frac1\rho=\frac{|U(z)|_{min}}{|U(z)|_{max}}$

参量间关系

因为这里是重点,所以这里给出常用公式,推导就自行看书了..

Z_{i n} (z) = Z_{c} \frac{1 + Γ (z)}{1 - Γ (z)} Γ (z) = \frac{Z_{i n} (z) - Z_{c}}{Z_{i n} (z) + Z_{c}}

$Z_{in}(z)=Z_c\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}\quad \quad\Gamma(z)=\frac{Z_{in}(z)-Z_c}{Z_{in}(z)+Z_c}$

Z_{L} = Z_{c} \frac{1 + Γ_{0}}{1 - Γ_{0}} Γ_{0} = \frac{Z_{L} - Z_{c}}{Z_{L} + Z_{c}}

$Z_{L}=Z_c\frac{1+\Gamma_0}{1-\Gamma_0}\quad \quad \quad\Gamma_0=\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}$

ρ = \frac{1 + | Γ_{0} |}{1 - | Γ_{0} |} | Γ (z) | = | Γ_{0} | = \frac{ρ - 1}{ρ + 1}

$\rho=\frac{1+|\Gamma_0|}{1-|\Gamma_0|}\quad \quad\quad \quad \quad |\Gamma(z)|=|\Gamma_0|=\frac{\rho-1}{\rho+1}$

行波状态

在反射系数 $\Gamma(z)=0$ 时,显然没有反射波,即 $U^-(z)=0$
所以有以下结论:
1. 沿线电压和电流振幅不变:

U (z) = U^{+} (z) = \frac{U_{0} + I_{0} Z_{c}}{2} e^{γ z} = U_{0}^{+} e^{γ z}

$U(z)=U^+(z)=\frac{U_0+I_0 Z_c}2 e^{\gamma z}=U^+_0e^{\gamma z}$

I (z) = I^{+} (z) = \frac{U_{0} + I_{0} Z_{c}}{2 Z_{c}} e^{γ z} = \frac{U_{0}^{+}}{Z_{c}} e^{γ z}

$I(z)=I^+(z)=\frac{U_0+I_0 Z_c}{2Z_c} e^{\gamma z}=\frac{U^+_0}{Z_c}e^{\gamma z}$
2. 沿线电压和电流相位相同:

u (z, t) = | U_{0}^{+} | c o s (ω t + β z + φ_{0})

$u(z,t)=|U^+_0|cos(\omega t+\beta z +\varphi_0)$

i (z, t) = \frac{| U_{0}^{+} |}{Z_{c}} c o s (ω t + β z + φ_{0})

$i(z,t)=\frac{|U^+_0|}{Z_c}cos(\omega t+\beta z +\varphi_0)$
3. 沿线各点输入阻抗等于其特性阻抗:

Z_{i n} (z) = Z_{c}

$Z_{in}(z)=Z_c$

驻波状态

在反射系数 $|\Gamma(z)|=1$ 时,显然反射波和入射波相叠(所以有个系数2)加成纯驻波,不对外吸收或传输能量

显然只有在负载短路,开路,纯电抗(不损耗能量)时有 $|\Gamma(z)|=1$

这里就直接上结论了(以 $Z_L=0$ )为例:

U (z) = j 2 U_{0}^{+} s i n β z

$U(z)=j2U^+_0sin\beta z$

I (z) = 2 I_{0}^{+} c o s β z

$I(z)=2I^+_0cos\beta z$
可以看出这里电压和电流差了一个

\frac{π}{2}

$\frac \pi 2$ 的相位 ,由于总路程是2z,所以引起的相移是

\frac{λ}{4}

$\frac{\lambda}4$

此时传输线上任意一点的输入阻抗为:

Z_{i} n (z) = j Z_{c} t a n β z

$Z_in(z)=jZ_ctan\beta z$

$\frac \lambda 4$ 阻抗变换性

特别地,考虑:

Γ (z) = Γ_{0} e^{- 2 j β z}

$\Gamma(z)=\Gamma_0 e^{-2j\beta z}\quad \quad$
可以清晰地看出,每当z改变

\frac{λ}{4}

$\frac \lambda 4$ 时,反射系数就会取反,称为阻抗变换性

混合波状态

相当于上面两个的结合,主要特征保留这样子:

U (z) = U_{0}^{+} e^{j β z} (1 - Γ_{0}) + 2 Γ_{0} U_{0}^{+} c o s β z

$U(z)=U^+_0 e^{j\beta z}(1-\Gamma_0)+2\Gamma_0 U^+_0 cos\beta z$

I (z) = I_{0}^{+} e^{j β z} (1 - Γ_{0}) + j 2 Γ_{0} U_{0}^{+} c o s β z

$I(z)=I^+_0 e^{j\beta z}(1-\Gamma_0)+j2\Gamma_0 U^+_0 cos\beta z$

阻抗匹配

共轭阻抗匹配

向负载方向看去的输入阻抗与向微波信源方向看去的输入阻抗的共轭值相等:

Z_{i n} = Z_{g}^{*}

$Z_{in}=Z^*_g$

源阻抗匹配

微波信源的内阻抗等于传输线的特性阻抗:

Z_{g} = Z_{c}

$Z_g=Z_c$

负载阻抗匹配

负载阻抗等于传输线的特性阻抗:

Z_{L} = Z_{c}

$Z_L=Z_c$

结语

这次是真的再见了!