电磁学乱七八糟的符号(三)

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author:何伟宝

这里重点是针对各种入射反射折射,chapter5 电磁波的传播

电磁学乱七八糟的符号(三)

review

1.上两张图说明一下极化是怎么回事
jihua
line
2.行波与驻波
1.驻波
zhubo
每一个点都在等相位震荡

借了,平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射讲了一下

2.行波(没找到好一点的图,凑合着看吧)
hangbo2 hangbo

每一个点都在等幅震荡

平面电磁波,理想介质to理想介质,垂直入射

这里借一个最普通的情况,说明基本概念:

反射系数R

R = \frac{E_{x 0}^{- r}}{E_{x 0}^{+ i}} = \frac{η_{2} - η_{1}}{η 2 + η 1}

$R=\frac {E^{-r}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta2+\eta1}$
定义为边界上反射波 电场分量与入射波 电场分量之比

折射系数T

T = \frac{E_{x 0}^{+ t}}{E_{x 0}^{+ i}} = \frac{2 η_{2}}{η 2 + η 1}

$T=\frac {E^{+t}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{2\eta_2}{\eta2+\eta1}$
定义为边界上折射波 电场分量与入射波 电场分量之比
可以观察到有:

T - R = 1

$T-R=1$

合成波场量

看书的图看书的图看书的图看书的图:

E_{1 x} (z) = E_{x o}^{+ i} (1 - R) e^{- j k_{1} z} + 2 R E_{x 0}^{+ i} c o s k_{1} z

$E_{1x}(z)= E^{+i}_{xo}(1-R)e^{-jk_{1}z}+2RE^{+i}_{x0}cosk_{1}z$

H_{1 y} (z) = \frac{E_{x 0}^{+ i}}{η_{1}} (1 - R) e^{j k_{1} z} + 2 R \frac{E_{x 0}^{+ i}}{η_{1}} e^{- j \frac{π}{2}} s i n k_{1} z

$H_{1y}(z)=\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}(1-R)e^{jk_{1}z}+2R\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}e^{-j\frac{\pi}{2}}sink_1z$
对于折射波:

E_{2 x} (z) = T E_{x 0}^{+ i} e^{- j k_{2} z}

$E_{2x}(z)=TE^{+i}_{x0}e^{-jk_2 z}$

E_{2 y} (z) = T \frac{E_{x 0}^{+ i}}{η_{2}} e^{- j k_{2} z}

$E_{2y}(z)=T\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_2}e^{-jk_2 z}$

平面电磁波,理想介质to理想介质,斜入射

1.垂直极化波

1.垂直极化波:电场强度分量与入射角垂直的波称为垂直极化波

斯涅尔反射定律

θ_{i} = θ_{r}

$\theta_i=\theta_r$

斯涅尔折射定律

\frac{s i n θ_{i}}{s i n θ_{t}} = \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

$\frac {sin \theta_i}{sin \theta_t}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{n_2}{n_1}$
其中

折射指数,折射率

n = c \sqrt{μ ε} = \frac{c}{ω} k

$n=c\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac c \omega k$

垂直极化波的反射系数和折射系数

R_{⊥} = \frac{η_{2} c o s θ_{i} - η_{1} c o s θ_{t}}{η_{2} c o s θ_{i} + η_{1} c o s θ_{t}}

$R_{\bot}=\frac{\eta_{2}cos\theta_{i}-{\eta_{1}cos\theta_{t}}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}$

T_{⊥} = \frac{2 η_{2} c o s θ_{i}}{η_{2} c o s θ_{i} + η_{1} c o s θ_{t}}

$T_{\bot}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}$

对于非铁磁性媒质, $\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}$ ,则有 $\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}}$ 和 $sin\theta_{t}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}}$ 上式可改为

R_{⊥} = \frac{c o s θ_{i} - \sqrt{\frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} - s i n^{2} θ_{i}}}{c o s θ_{i} + \sqrt{\frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} - s i n^{2} θ_{i}}}

$R_{\bot}=\frac{cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

T_{⊥} = \frac{2 c o s θ_{i}}{c o s θ_{i} + \sqrt{\frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} - s i n^{2} θ_{i}}}

$T_{\bot}=\frac{2cos\theta_{i}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

2.平行极化波

2.平行极化波:电场强度分量与入射角平行的波称为平行极化波
平行极化波的发射系数和折射系数:

R_{/ /} = \frac{η_{1} c o s θ_{i} - η_{2} c o s θ_{t}}{η_{1} c o s θ_{i} + η_{2} c o s θ_{t}}

$R_{//}=\frac{\eta_{1}cos\theta_{i}-{\eta_{2}cos\theta_{t}}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}$

T_{/ /} = \frac{2 η_{2} c o s θ_{i}}{η_{1} c o s θ_{i} + η_{2} c o s θ_{t}}

$T_{//}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}$

对于非铁磁性媒介,上两式可改写为

R_{/ /} = \frac{(ε_{2} / ε_{1}) c o s θ_{i} - \sqrt{\frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} - s i n^{2} θ_{i}}}{(ε_{2} / ε_{1}) c o s θ_{i} + \sqrt{\frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} - s i n^{2} θ_{i}}}

$R_{//}=\frac{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

T_{/ /} = \frac{2 \sqrt{ε_{2} / ε_{1}} c o s θ_{i}}{(ε_{2} / ε_{1}) c o s θ_{i} + \sqrt{\frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} - s i n^{2} θ_{i}}}

$T_{//}=\frac{2\sqrt{{\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}}}cos\theta_{i}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

显然,斜入射就是可以分解成垂直极化波和水平极化波而被介绍.

3.全反射

当 |R|=1时,入射波全部反射走了:
显然让 $R_{\bot}$ 和 $R_{//}$ 都等于1时会有全反射:

\begin{matrix} (5,1) & s i n θ_{i} = \sqrt{\frac{ε_{2}}{ε_{1}}} \end{matrix}

$sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \tag {5,1}$
对于非铁磁性媒质,

μ_{1} \approx μ_{2} \approx μ_{0}

$\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}$ ,有:

s i n θ_{i} = \sqrt{\frac{ε_{2}}{ε_{1}}} s i n θ_{t}

$sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}sin\theta_t$
显然当

θ_{t} = \frac{π}{2}

$\theta_t=\frac \pi 2$ 时全反射,但这个不是重点,因为自变量是

θ_{i}

$\theta_i$ ,所以这只是一个现象而已.
所以有:

临界角 $\theta_c$

满足1.1的 $\theta_i$ 记作 $\theta_c$ 有:

θ_{c} = a r c s i n \sqrt{\frac{ε_{2}}{ε_{1}}}

$\theta_c= arcsin \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}$
当

θ_{i} = θ_{c} 时 有 : s i n θ_{c} = 1, θ_{t} = \frac{π}{2}

$\theta_i =\theta_c 时有:sin\theta_c=1 ,\theta_t =\frac \pi 2$

全内反射

当入射角大于临界角之后,可以求出:

s i n θ_{3 t} = \sqrt{\frac{ε_{1}}{ε_{2}}} s i n θ_{3 i} > s i n θ_{t} = 1

$sin\theta_{3t}=\sqrt{\frac {\varepsilon_1}{\varepsilon_2}}sin\theta_{3i}>sin\theta_t=1$
可以看出这个角用平面已经没办法解析了,应该放成复平面再用欧拉公式展开才能探看,但是所幸的是:

c o s θ_{3 t} = \sqrt{1 - s i n^{2} θ_{3 t}} = \pm j \sqrt{\frac{ε_{1}}{ε_{2}} s i n^{2} θ_{3 i} - 1} = \pm j (\frac{ε_{1}}{ε_{2}})^{\frac{1}{2}} \sqrt{s i n^{2} θ_{3 i} - ε_{2} / ε_{1}} = \pm j a

$cos\theta_{3t} =\sqrt{1-sin^2\theta_{3t}}=\pm j \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}sin^2\theta_{3i}-1}\\ \quad \quad=\pm j(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2})^{\frac 12}\sqrt{sin^2\theta_{3i}-\varepsilon_2/\varepsilon_1}=\pm j a$
可以代入反射系数公式,还是可以得到

| R_{⊥} | = | R_{/ /} | = 1

$|R_{\bot}|=|R_{//}|=1$ ,还是达到了全反射的条件
但是这个时候,可以代入折射系数可知,

T_{⊥} \neq 0, T_{/ /} \neq 0

$T_{\bot}\neq 0 , T_{//}\neq 0$ ,此时随便带入一个方向的折射波方程得(以垂直为例):

{\vec{E}}^{t} (\vec{r}) = {\vec{a}}_{y} T_{⊥} E_{0}^{+ i} e^{- j k_{2} x s i n θ_{3 t}} e^{- j k_{2} z c o s θ_{3 t}} {\vec{a}}_{y} T_{⊥} E_{0}^{+ i} e^{- a z} e^{j k_{2} x s i n θ_{3 t}}

$\vec E^t(\vec r)=\vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0 e^{-jk_2xsin\theta_{3t}}e^{-jk_2zcos\theta_{3t}}\\ \quad \vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0e^{-az}e^{jk_2 xsin\theta_{3t}}$
可以看到,此时的TEM波已经变成了
振幅往+z方向衰减,方向沿+x方向传播的非均匀平面波,综合反射折射来看,就可以说是很像光纤了
guangxian

画了个小图,自己了解一下.
从图都可以得出,反射和折射的表面波之间是存在光程差,也就存在着相移,考虑该波等相面:

k_{2} x s i n θ_{3 t} - ω t = C

$k_2 xsin\theta_{3t}-\omega t=C$
求导得相速:

慢波&&表面波

v_{p x} = \frac{ω}{k_{2} s i n θ_{3 t}} = \frac{v_{p}}{s i n θ_{3 t}} < v_{p}

$v_{px} = \frac{\omega}{k_2 sin\theta_{3t}}=\frac {v_p}{sin\theta_{3t}}<v_p$
所以称该波为慢波,或者是表面波

建议看书P147-148

4.全折射

同理,入射波全部折射进理想介质2,但理论上我们只考虑 $R_{//}=0$ 具体原因可以看书!
整理得:

布儒斯特角&&极化角 $\theta_b$

s i n θ_{i} = \frac{ε_{2}}{ε_{2} + ε_{1}}

$sin \theta_i =\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_2 +\varepsilon_1}$
当存在

θ_{i}

$\theta_i$ 满足上式时,记作布儒斯特角

θ_{b}

$\theta_b$ :

θ_{b} = a r c s i n \sqrt{\frac{ε_{2}}{ε_{1} + ε_{2}}}

$\theta_b=arcsin\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}}$
此时会有垂直极化分量剩余,也就是说,发生全折射的时候,会剩下垂直极化分量
所以这过程也会被称为极化滤波.所以布儒斯特角也称为 极化角

平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射

由于良导体存在趋肤效应,所以研究折射是没有意义的,所以这里只需要研究全反射条件.

由前文的垂直入射的反射系数和折射系数可以看到:

R = - 1 T = 0

$R=-1 \quad \quad T=0$
也可以由理想导体的边界中,电场强度切向连续得到,代入前面的垂直入射分析中得:

{\vec{E}}_{1 x} (z) = {\vec{E}}_{x 0}^{+ i} (e^{- j k_{1} z} - e^{j k_{1} z}) = - j 2 {\vec{E}}_{x 0}^{+ i} s i n k_{1} z

$\vec E_{1x}(z)=\vec E^{+i}_{x0}(e^{-jk_1 z}-e^{jk_1 z}) = -j2\vec E^{+i}_{x0}sink_1 z$

{\vec{E}}_{1 y} (z) = \frac{{\vec{E}}_{x 0}^{+ i}}{η_{1}} (e^{- j k_{1} z} + e^{j k_{1} z}) = \frac{2}{η_{1}} {\vec{E}}_{x 0}^{+ i} c o s k_{1} z

$\vec E_{1y}(z)= \frac {\vec E^{+i}_{x0}}{\eta_1} (e^{-jk_1 z}+e^{jk_1 z}) = \frac 2{\eta_1} \vec E^{+i}_{x0}cosk_1 z$

改写成瞬时形式:

E_{1 x} (z, t) = R e [E_{1 x} (z) e^{j ω t}] = 2 E_{x 0}^{+ i} s i n k_{1} z s i n ω t

$E_{1x}(z,t)=Re[E_{1x}(z)e^{j\omega t}]=2E^{+i}_{x0} \quad \quad sink_1 z \quad \quad sin \omega t$

H_{1 y} (z, t) = R e [H_{1 y} (z) e^{j ω t}] = \frac{2}{η_{1}} E_{x 0}^{+ i} c o s k_{1} z c o s ω t

$H_{1y}(z,t)=Re[H_{1y}(z)e^{j\omega t}]=\frac 2 {\eta_1}E^{+i}_{x0}\quad \quad cosk_1 z\quad\quad cos\omega t$

由公式可以看出:
1. 在固定一个x-y平面(z固定),波幅只会因为t而改变,这个改变是通过改变相位而来的
2. 在固定一个周期中(t固定), 相位不会因为z的传播而改变
3. 在固定一个周期中(t固定), 波幅会因为z的传播而震荡

直观一点来说,只要你固定x-y平面,固定看一个周期,想着z往着图里投射波形,就可以看见blog开头的

纯驻波

还可以在时均能流密度 $S_{av}$ 中:

{\vec{S}}_{a v} = \frac{1}{2} R e [{\vec{a}}_{z} E_{1 x} (z) {\vec{H}}_{1 y}^{*} (z)] = \frac{1}{2} R e [- {\vec{a}}_{z} j \frac{4 | E_{x 0}^{+ i} |^{2}}{η_{1}} s i n k_{1} z c o s k_{1} z] = 0

$\vec S_{av}=\frac12 Re[\vec a_zE_{1x}(z)\vec H^*_{1y}(z)] \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac 12Re[-\vec a_z j\frac {4|E^{+i}_{x0}|^2}{\eta_1}sink_1zcosk_1z]=0$
可以看出驻波并不会传输能量,只是周期地把电场能量和磁场能量交换了而已.

平面电磁波,理想介质to理想导体,斜入射

跟之前是一样的,斜入射分成垂直极化波和水平极化波来分析
也是只研究全反射

垂直极化入射

垂直极化入射情况下的合成波:

{\vec{E}}_{1} (\vec{r}) = {\vec{E}}^{i} (\vec{r}) + {\vec{E}}^{r} (\vec{r}) = - {\vec{a}}_{y} j 2 E_{0}^{+ i} s i n (k_{1} z c o s θ_{i}) e^{- j k_{1} x s i n θ_{i}}

$\vec E_{1}(\vec r)=\vec E^{i}(\vec r)+\vec E^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ = -\vec{a}_{y}j2E^{+i}_{0}\quad sin(k_{1}zcos\theta_{i})\quad e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}$

{\vec{H}}_{1} (\vec{r}) = {\vec{H}}^{I} (\vec{r}) + {\vec{H}}^{r} (\vec{r}) = [- \vec{a_{x}} c o s θ_{i} c o s (k_{1} z c o s θ_{i}) - \vec{a_{z}} j s i n θ_{i} s i n (k_{1} z c o s_{θ_{i}})] \frac{2 E_{0}^{+ i}}{η_{1}} e^{- j k_{1} x s i n θ_{i}}

$\vec H_{1}(\vec r)=\vec H^{I}(\vec r)+\vec H^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=[-\vec{a_{x}}cos\theta_{i}cos(k_{1}zcos\theta_{i})-\vec{a_{z}}jsin\theta_{i}sin(k_{1}zcos_{\theta_{i}})]\frac{2E^{+i}_{0}}{\eta_{1}}e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}$
可以看出(统一看电场,因为几乎所有定义都是用电场定义的):

x方向上的行波性

由 $e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-\omega t)}$ 给出,而且传播相速为慢波:

v_{p x} = \frac{ω}{k_{1} s i n θ_{i}} = \frac{v_{p}}{s i n θ_{i}} < v_{p}

$v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_p$

z方向上的驻波性

由 $sin(k_{1}zcos\theta_{i})$ 可以得到

振幅非均匀性

振幅往+z方向做周期性变化,方向沿+x方向等相面传播的非均匀平面波

以上者三点都有点类似于全内反射

横电波性(TE波)

平行极化入射

{\vec{E}}_{1} (\vec{r}) = - [{\vec{a}}_{x} j c o s θ_{i} s i n (k_{1} z c o s θ_{i}) + {\vec{a}}_{z} s i n θ_{i} c o s (k_{1} z c o s θ_{i})] 2 E_{0}^{+ i} e^{- j k_{1} x s i n θ_{i}}

$\vec E_1(\vec r)=-[\vec a_x jcos\theta_i sin(k_1 zcos\theta_i)+\vec a_z sin\theta_i cos(k_1 zcos\theta_i)] 2E_0^{+i}e^{-jk_1 xsin\theta_i}$

{\vec{H}}_{1} (\vec{r}) = {\vec{a}}_{y} 2 \frac{E_{0}^{+ i}}{η_{1}} c o s (k_{1} z c o s θ_{i}) e^{- j k_{1} x c o s θ_{i}}

$\vec H_1(\vec r)=\vec a_y 2\frac{E_0^{+i}}{\eta_1}cos(k_1 z cos\theta_i)e^{-jk_1 xcos\theta_i}$
同上分析,依然有:

x方向上的行波性

行波因子 $e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)}$

由行波因子表示,而且传播相速为慢波:

v_{p x} = \frac{ω}{k_{1} s i n θ_{i}} = \frac{v_{p}}{s i n θ_{i}} < v_{p}

$v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_p$

z方向上的驻波性

驻波因子 $^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i})$

由驻波因子表示

振幅非均匀性

振幅随z变化的非均匀平面波

*横磁波(TM波)

在x的传播方向上电场分量不为0,磁场分量为0

结语

第五章算是写完了,剩下的内容课上也没有介绍了,
开始从单纯的抄写公式到以公式入手理解意义了.也开始配了简单的图
但是万万不足的是,blog上大多其实还是结论,
真正要处理的波动方程除了难一点的之外都没有写出,还需要大家好好看书!

特别鸣谢:某女士为了督促我,坑我KFC的狗血操作