物理复习1力学

力学

由质点的运动方程求轨迹方程（上册P8_例题2）

• 由速度和加速度求路程或位移得使用积分
• 由运动方程求速度或加速度则使用求导
• 速度为矢量，得回答方向和大小
• 对于类似 $\vec{r}(t) = x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$的运动方程，将 $x(t)$和 $y(t)$两方程消去 $t$便可得到轨迹方程

圆周运动的切向加速度和法向加速度（上册P21_1-21）

• 速度和角速度，角速度和角加速度关系
  • $\omega = \frac{{\rm d}\theta}{{\rm}dt}$
  • $v = \omega r$
  • $\alpha =\frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t}$
• 法向加速度 $\vec{a}_n$，描述物体速度方向的变化
  • $a_n = \frac{v^2}{r} = w^2r$
• 切向加速度 $\vec{a}_t$，描述物体速度大小的变化
  • $a_t = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{r{\rm d}\theta}{{\rm d}t}$
• 加速度大小： $a = (a^2_n + a^2_t)^{1/2}$
• 加速度方向： $tan\varphi=\frac{a_n}{a_t}$
  

牛顿定律的应用（上册P40_2-3、P40_2-10）

• 牛顿第一定律：惯性定律，在不受其他物体作用下，任何物体保持静止或匀速直线运动状态，力是改变物体运动状态的原因： $\vec{F} = 0时，\vec{v}=矢常量$
• 牛顿第二定律：物体动量随时间的变化率等于物体所受的合外力： $\vec{F}=\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(m\vec{v})}{{\rm d}t}=m\vec{a}$
• 牛顿第三定律：两个物体之间的作用力 $\vec{F}$和反作用力 $-\vec{F}'$，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上： $\vec{F}=-\vec{F}'$
• 万有引力： $\vec{F}=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\vec{e_r}$ （ $\vec{e_r}$由施力物体指向受力物体）
• 摩擦力： $\vec{F_f}=\mu\vec{F_N}$

1. 习题2-3
   

$F_f = m\frac{v^2}{R}$
$\mu mg = m\frac{v^2}{R}$
$v=\sqrt{\mu gR}$

2. 习题2-10
   

$\vec{F_N}sin\theta=mw^2Rsin\theta$
$\vec{F_N}cos\theta=mg$
$h=R-Rcos\theta=R-R\frac{mg}{mw^2R}=R-\frac{g}{w^2}$

动量守恒定律、机械能守恒定律（上册P76_3-4）

• 给定时间间隔内，力对质点的冲量，等于质点该时间内动量的增量： $\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t){\rm d}t=\vec{p_2}-\vec{p_1}=m\vec{v_2}-m\vec{v_1}$
• 作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量： $\vec{I}=\vec{p}-\vec{p_0}$
• 作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率： $\vec{F^{ex}}=\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}$
• 动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变： $\vec{p}=\sum_{i=1}^nm_i\vec{v_i}=矢常量$
• 功：力在位移方向的分量与该位移大小的乘积： ${\rm d}W=\vec{F}\cdot{\rm d}\vec{r}, W=\int{\rm d}W=\int_A^B\vec{F}\cdot{\rm d}\vec{r}=\int_A^BFcos\theta{\rm d}s$
• $P=\frac{{\rm d}W}{{\rm d}t}=\vec{F}\cdot\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}=Fvcos\theta$
• 动能定理： $\sum{W}=\sum{E_k}-\sum{E_{k_0}}$
• 功能原理：质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力做功只和： $W^{ex}+W^{in}_{nc}=E-E_0$
• 机械能守恒定律：当 $W^{ex}+W^{in}_{nc}=0$或 $W^{ex}=0, W^{in}_{nc}=0$时， $E=E_0$

1. 习题3-4

分析与解 由题意知，作用在题述系统上的合外力为零，故系统动量 守恒，但机械能未必守恒，这取决于在A、B弹开过程中C与A或D与B之间有无相对滑动，如有则必然会因摩擦内力做功，而使一部分机械能转化为热能，故选(D).

细杆、圆环的转动惯量的表达式（表4-1）

• 细棒（转动轴通过中心与棒垂直）： $J=\frac{ml^2}{12}$
• 细棒（转动轴通过棒的一端与棒长垂直）： $J=\frac{ml^2}{3}$
• 圆筒（转动轴沿几何轴R1<=R2）： $J=\frac{m}{2}(R_2^2+R_1^2)$
  R1=R2时为薄圆环，R1=0时为圆柱体

转动定律，角速度和角加速度（上册P111_4-3）

• 力矩： $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$
• 绕定轴转动的刚体的力矩： $\sum M_i=r_iF_{it}=\sum (\Delta m_i)a_tr_i=\sum r_i^2(\Delta m_i)\alpha=\alpha\sum r_i^2\Delta m_i$
• 转动惯量： $J=\sum r_i^2\Delta m_i$（注：转动惯量为张量）
• 转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比： $\vec M=J\vec \alpha$
• 角速度： $w=\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}$
• 角加速度： $\alpha=\frac{{\rm d}w }{{\rm d}t}$

角动量守恒定律（上册P95_例题1、P111_4-4）

• 角动量： $\vec L=\vec r\times\vec p=m\vec r\times\vec v$
  $L=rmv=mr^2w=Jw$
• 刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩M等于刚体绕此轴的角动量L随时间的变化率： $\vec M=\frac{{\rm d}\vec L}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(J\vec w)}{{\rm d}t}$
• 角动量定理：转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量： $\int_{t_1}^{t_2}M{\rm d}t=J_2w_2-J_1w_1$

1. 例题1

$J_1w_1+J_2w_2=(J_1+J_2)w$
$w=\frac{J_1w_1+J_2w_2}{J_1+J_2}$

2. 例题2

$\vec L_1=\vec r_1\times\vec p_1$
$\vec L_2=\vec r_2\times\vec p_2$
$|\vec L_1|=|\vec L_2|$, 方向相反
$\vec L_{圆盘}+\vec L_1+\vec L_2=\vec L_{圆盘}$
圆盘角速度:
$J_1w_1+J_2w_2+J_{圆盘}w_{圆盘}=(J_1+J_2+J_{圆盘})w$
$J_1=J_2, w_1=-w_2$
$w=\frac{J_{圆盘}w_{圆盘}}{J_1+J_2+J_{圆盘}}$
$\therefore w&lt;w_{圆盘}$